حاسبة العامل المشترك الأكبر

قبل الشروع في تعريف مفهوم القاسم المشترك الأكبر (GCD) ، من الضروري فهم القاسم المشترك بشكل عام.

من المعروف أن عددًا صحيحًا يمكن أن يحتوي على عدة قواسم. نحن مهتمون بالوصول المتزامن لها بواسطة عدة أعداد صحيحة. نحن نعتبر القاسم المشترك للعديد من الأعداد الصحيحة هو الرقم الذي يمكن أن يعمل كمقسوم على كل رقم من السلسلة المحددة.

على سبيل المثال ، يحتوي الرقمان 8 و 12 على القواسم المشتركة التالية: 1 و 4. يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق كتابة تعبيرات رياضية: 8 = 4 ⋅ 2؛ 12 = 3 4.

تجدر الإشارة إلى أن كل رقم له في البداية مقسومان مشتركان على الأقل: أي رقم يقبل القسمة على نفسه بدون باقي ، كما أنه قابل للقسمة على 1.

تحديد القاسم المشترك الأكبر

القاسم المشترك الأكبر (GCD) لرقمين طبيعيين هو أكبر عدد طبيعي يمكننا من خلاله قسمة اثنين من الأعداد. إذا كانت قيمة القاسم المشترك الأكبر لرقمين طبيعيين هي 1 ، فإننا نطلق على هذين الرقمين اسم الجريمة.

بالنسبة إلى العددين أ وب ، فإن القاسم المشترك الأكبر هو العدد الذي يمكن قسمة أ وب بدون باقٍ. هذا التعبير مكتوب على النحو التالي: gcd (a، b) = c.

طريقة أخرى لكتابة GCD: (أ ، ب) = ج. ومع ذلك ، في معظم الحالات ، يتم استخدام الخيار الأول.

على سبيل المثال ، العددين 4 و 16 لهما القاسم المشترك الأكبر يساوي 4. لنكتب: gcd (4، 16) = 4.

دعنا نصف كيف توصلنا إلى هذه النتيجة:

• كتبنا جميع قواسم العدد 4. حصلنا على: 4 ، 2 ، 1.
• بعد ذلك ، قمنا برسم جميع القواسم على 16. حصلنا على: 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1.
• اخترنا القواسم المشتركة لكل من 4 و 16. حصلنا على: 4 ، 2 ، 1.
• من القواسم المشتركة الناتجة ، تم اختيار الأكبر. هذا 4.
• نحصل على الإجابة: للأرقام 4 و 16 GCD هي 4.

وبالمثل ، يمكنك العثور على GCD لثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر. في هذه الحالة ، سيكون أكبر عدد صحيح يمكنك من خلاله قسمة جميع الأرقام من السلسلة المقترحة.

على سبيل المثال ، سيكون القاسم الأكبر للأعداد الصحيحة 6 ، 12 ، 18 ، 42 هو الرقم 6 ، أي gcd (6 ، 12 ، 18 ، 42) = 6. تم الحصول على الإجابة باستخدام خوارزمية على غرار ما تم وصفه أعلاه - بالنسبة للأرقام من سلسلة ، تمت كتابة جميع القواسم بالتسلسل ، وبعد ذلك تم اختيار أكبرها.

خصائص GCD

يحتوي القاسم المشترك الأكبر على عدد من الخصائص التي ستكون ذات صلة بـ GCD للأعداد الصحيحة الموجبة التي تحتوي على قواسم أكبر من الصفر.

الخاصية 1

من تغيير أماكن الأرقام ، لن تتغير القيمة النهائية لـ GCD. يمكنك كتابة هذا البيان على النحو التالي:

• gcd (a، b) = gcd (b، a).

الخاصية 2

إذا كانت a قابلة للقسمة على b ، فإن مجموعة القواسم المشتركة لكل من a و b هي نفس مجموعة المقسومات على b. مكتوب بهذا الشكل:

• gcd (a، b) = b.

يمكن استخدام خاصية القاسم الأكبر المثبتة لإيجاد gcd لرقمين عندما يكون أحدهما قابلاً للقسمة على الآخر. في هذه الحالة ، يكون GCD مساويًا لأحد هذه الأرقام ، بحيث يمكن القسمة على رقم آخر.

على سبيل المثال:

• gcd (12، 4) = 4.

مماثل:

• gcd (10، 1) = 1.

الخاصية 3

إذا كانت a = bq + c ، حيث a و b و c و q أعداد صحيحة ، فإن مجموعة القواسم المشتركة لـ a و b هي نفس مجموعة القواسم المشتركة لـ b و c.

تصبح المساواة gcd (a، b) = gcd (b، c) صالحة.

الخاصية 4

التعبير gcd (ma، mb) = m ⋅ gcd (a، b) صحيح بشرط أن m هو أي عدد طبيعي.

الخاصية 5

لنفترض أن p هو أي قاسم مشترك لكل من a و b.

بعد ذلك:

• gcd (a / p، b / p) = gcd (a، b) / p.

إذا كانت p = gcd (a، b) ، نحصل على:

• gcd (a / gcd (a، b)، b / gcd (a، b)) = 1،

وبالتالي ، فإن الأرقام a / gcd (a، b) و b / gcd (a، b) هي جريمة مشتركة.

الخاصية 6

أي رقمين لهما قاسم مشترك واحد على الأقل - هذا هو الرقم 1.

تعد معرفة الأسس النظرية لمفهوم GCD ، بالإضافة إلى المهارات العملية في تعريفه ، ضرورية للعمل مع الكسور العادية. بالإضافة إلى ذلك ، يرتبط GCD ارتباطًا وثيقًا بوحدة رياضية أخرى - القاسم المشترك الأقل. عادةً ما تتم دراسة كلا التعريفين كجزء من منهج مدرسي قياسي.