Преди да преминете към дефиницията на понятието най-голям общ делител (НОД), е необходимо да разберете какво е общ делител като цяло.
Известно е, че едно цяло число може да има множество делители. Ние се интересуваме от едновременен достъп до тях от няколко цели числа. Считаме, че общият делител на няколко цели числа е числото, което може да действа като делител за всяко число от определената серия.
Например, числата 8 и 12 имат следните общи делители: 1 и 4. Това може лесно да се провери чрез написване на математически изрази: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Трябва да се отбележи, че всяко число първоначално има поне два общи делителя: всяко число се дели на себе си без остатък и също се дели на 1.
Определяне на най-голям общ делител
Най-големият общ делител (НОД) на две естествени числа е най-голямото от естествените числа, на които можем да разделим две от нашите числа. Ако стойността на най-големия общ делител на две естествени числа е 1, тогава наричаме тези числа взаимно прости.
За две числа a и b най-големият общ делител е числото, на което a и b могат да бъдат разделени без остатък. Този израз се записва по следния начин: gcd (a, b) = c.
Друг начин за запис на GCD: (a, b) = c. В повечето случаи обаче се използва първата опция.
Така, например, числата 4 и 16 имат най-голям общ делител, равен на 4. Нека запишем: gcd (4, 16) = 4.
Нека опишем как стигнахме до този резултат:
- Изписахме всички делители на числото 4. Получихме: 4, 2, 1.
- След това нарисувахме всички делители на 16. Получаваме: 16, 8, 4, 2, 1.
- Избрахме делители, които са общи както за 4, така и за 16. Получихме: 4, 2, 1.
- От получените общи делители беше избран най-големият. Това е 4.
- Получаваме отговора: за числата 4 и 16 GCD е 4.
По подобен начин можете да намерите GCD за три или повече цели числа. В този случай това ще бъде най-голямото цяло число, на което можете да разделите всички числа от предложената серия.
Така, например, най-големият делител за целите числа 6, 12, 18, 42 ще бъде числото 6, тоест gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Отговорът е получен с помощта на алгоритъм подобно на описаното по-горе - за числа от поредица всички делители бяха последователно изписани, след което бяха избрани най-големите от тях.
Свойства на GCD
Най-големият общ делител има редица свойства, които ще бъдат подходящи за GCD на положителни цели числа с делители, по-големи от нула.
Свойство 1
От смяната на местата на числата крайната стойност на GCD няма да се промени. Можете да напишете това твърдение така:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Свойство 2
Ако a се дели на b, тогава множеството от общи делители на a и b е същото като множеството от делители на b. Написано така:
- gcd(a, b) = b.
Доказаното свойство на най-големия делител може да се използва за намиране на gcd на две числа, когато едното от тях се дели на другото. В този случай НОД е равен на едно от тези числа, на което се дели друго число.
Например:
- gcd(12, 4) = 4.
Подобни:
- gcd(10, 1) = 1.
Свойство 3
Ако a = bq + c, където a, b, c и q са цели числа, тогава множеството от общи делители на a и b е същото като множеството от общи делители на b и c.
Равенството gcd (a, b) = gcd (b, c) става валидно.
Свойство 4
Изразът gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) е верен, при условие че m е всяко естествено число.
Свойство 5
Да кажем, че p е всеки общ делител на a и b.
След това:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Ако p = gcd(a, b), получаваме:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
По този начин числата a / gcd (a, b) и b / gcd (a, b) са взаимно прости.
Свойство 6
Всички две числа имат поне един общ делител - това е числото 1.
За да работите с обикновени дроби, са необходими познания за теоретичните основи на концепцията GCD, както и практически умения за нейното дефиниране. В допълнение, GCD е тясно свързана с друга математическа единица - най-малкият общ делител. И двете определения обикновено се изучават като част от стандартната училищна програма.
