জিসিএফ ক্যালকুলেটর

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (GCD) এর ধারণার সংজ্ঞায় এগিয়ে যাওয়ার আগে, সাধারণভাবে একটি সাধারণ ভাজক কী তা বোঝা দরকার৷

এটা জানা যায় যে একটি পূর্ণসংখ্যার একাধিক ভাজক থাকতে পারে। আমরা বেশ কয়েকটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা তাদের একযোগে অ্যাক্সেসে আগ্রহী। আমরা বেশ কয়েকটি পূর্ণসংখ্যার সাধারণ ভাজককে এমন সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করি যা নির্দিষ্ট সিরিজের প্রতিটি সংখ্যার জন্য একটি ভাজক হিসাবে কাজ করতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, 8 এবং 12 সংখ্যার নিম্নলিখিত সাধারণ ভাজক রয়েছে: 1 এবং 4। এটি গাণিতিক রাশি লিখে সহজেই যাচাই করা যেতে পারে: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

এটি লক্ষ করা উচিত যে প্রতিটি সংখ্যার প্রাথমিকভাবে কমপক্ষে দুটি সাধারণ ভাজক রয়েছে: যেকোন সংখ্যা একটি অবশিষ্ট ছাড়াই নিজে থেকে বিভাজ্য, এবং এটি 1 দ্বারাও বিভাজ্য৷

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক নির্ধারণ করা

দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (GCD) হল প্রাকৃতিক সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে বড় যা দ্বারা আমরা আমাদের দুটি সংখ্যাকে ভাগ করতে পারি। যদি দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের মান 1 হয়, তাহলে আমরা এই সংখ্যাগুলিকে coprime বলি৷

দুটি সংখ্যা a এবং b এর জন্য, সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল সেই সংখ্যা যার দ্বারা a এবং b কে একটি অবশিষ্ট ছাড়া ভাগ করা যায়। এই অভিব্যক্তিটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: gcd (a, b) = c.

GCD লেখার আরেকটি উপায়: (a, b) = c. যাইহোক, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, প্রথম বিকল্পটি ব্যবহার করা হয়।

তাই, উদাহরণস্বরূপ, 4 এবং 16 সংখ্যার 4 এর সমান সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক রয়েছে। আসুন লিখি: gcd (4, 16) = 4।

আসুন আমরা কীভাবে এই ফলাফলে এসেছি তা বর্ণনা করি:

• আমরা 4 নম্বরের সমস্ত ভাজক লিখেছি। আমরা পেয়েছি: 4, 2, 1।
• এরপর, আমরা 16 এর সমস্ত ভাজক এঁকেছি। আমরা পেয়েছি: 16, 8, 4, 2, 1।
• আমরা 4 এবং 16 উভয়ের জন্যই সাধারণ ভাজক বেছে নিয়েছি। আমরা পেয়েছি: 4, 2, 1।
• ফলে সাধারণ ভাজক থেকে, সবচেয়ে বড়টি বেছে নেওয়া হয়েছিল। এটি 4.
• আমরা উত্তর পাই: 4 এবং 16 নম্বরের জন্য GCD হল 4।

একইভাবে, আপনি তিন বা তার বেশি পূর্ণসংখ্যার জন্য GCD খুঁজে পেতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, এটি হবে সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা যার দ্বারা আপনি প্রস্তাবিত সিরিজের সমস্ত সংখ্যাকে ভাগ করতে পারবেন৷

তাই, উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা 6, 12, 18, 42 এর জন্য বৃহত্তম ভাজক হবে 6 নম্বর, অর্থাৎ, gcd (6, 12, 18, 42) = 6। উত্তরটি একটি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়েছিল উপরে যা বর্ণনা করা হয়েছে তার অনুরূপ - একটি সিরিজের সংখ্যার জন্য, সমস্ত ভাজককে ক্রমানুসারে লেখা হয়েছিল, তারপরে তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টি বেছে নেওয়া হয়েছিল।

GCD বৈশিষ্ট্য

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের অনেকগুলি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা শূন্যের চেয়ে বড় ভাজকের সাথে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার GCD-এর জন্য প্রাসঙ্গিক হবে৷

সম্পত্তি 1

সংখ্যার স্থান পরিবর্তন থেকে, GCD এর চূড়ান্ত মান পরিবর্তন হবে না। আপনি এই বিবৃতিটি এভাবে লিখতে পারেন:

• gcd(a, b) = gcd(b, a).

সম্পত্তি 2

যদি a b দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে a এবং b এর সাধারণ ভাজকের সেট b এর ভাজকের সেটের সমান। এভাবে লেখা:

• gcd(a, b) = b.

প্রমাণিত সর্বশ্রেষ্ঠ ভাজক সম্পত্তি দুটি সংখ্যার gcd বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যখন তাদের একটি অন্য দ্বারা বিভাজ্য হয়। এই ক্ষেত্রে, GCD এই সংখ্যাগুলির একটির সমান, যার দ্বারা অন্য একটি সংখ্যা বিভাজ্য৷

উদাহরণস্বরূপ:

• gcd(12, 4) = 4.

অনুরূপ:

• gcd(10, 1) = 1.

সম্পত্তি 3

যদি a = bq + c, যেখানে a, b, c এবং q পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে a এবং b এর সাধারণ ভাজকের সেট b এবং c এর সাধারণ ভাজকের সেটের সমান।

সমতা gcd (a, b) = gcd (b, c) বৈধ হয়ে যায়।

সম্পত্তি 4

অভিব্যক্তি gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) সত্য যদি m যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যা হয়।

সম্পত্তি 5

আসুন p হল a এবং b এর যেকোন সাধারণ ভাজক।

তারপর:

• gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

যদি p = gcd(a, b), আমরা পাই:

• gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

অতএব, সংখ্যা a / gcd (a, b) এবং b / gcd (a, b) কপ্রাইম।

সম্পত্তি 6

যেকোন দুটি সংখ্যার অন্তত একটি সাধারণ ভাজক আছে - এটি হল সংখ্যা 1।

জিসিডি ধারণার তাত্ত্বিক ভিত্তির জ্ঞান, সেইসাথে এর সংজ্ঞায় ব্যবহারিক দক্ষতা, সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে কাজ করার জন্য প্রয়োজনীয়। উপরন্তু, GCD আরেকটি গাণিতিক এককের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত - সর্বনিম্ন সাধারণ ভাজক। উভয় সংজ্ঞা সাধারণত একটি আদর্শ স্কুল পাঠ্যক্রমের অংশ হিসাবে অধ্যয়ন করা হয়।