Màxim comú divisor

Abans de procedir a la definició del concepte de màxim comú divisor (MCD), cal entendre què és un comú divisor en general.

Se sap que un nombre enter pot tenir múltiples divisors. Ens interessa l'accés simultani a ells per part de diversos nombres enters. Considerem que el comú divisor de diversos nombres enters és el nombre que pot actuar com a divisor de cada nombre de la sèrie especificada.

Per exemple, els nombres 8 i 12 tenen els següents divisors comuns: 1 i 4. Això es pot comprovar fàcilment escrivint expressions matemàtiques: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Cal tenir en compte que cada nombre té inicialment almenys dos divisors comuns: qualsevol nombre és divisible per si mateix sense residu, i també és divisible per 1.

Determinació del màxim comú divisor

El màxim comú divisor (MCD) de dos nombres naturals és el més gran dels nombres naturals pel qual podem dividir dos dels nostres nombres. Si el valor del màxim comú divisor de dos nombres naturals és 1, aquests nombres els anomenem coprims.

Per a dos nombres a i b, el màxim comú divisor és el nombre pel qual a i b es poden dividir sense resta. Aquesta expressió s'escriu de la següent manera: mcd (a, b) = c.

Una altra manera d'escriure GCD: (a, b) = c. Tanmateix, en la majoria dels casos, s'utilitza la primera opció.

Així, per exemple, els nombres 4 i 16 tenen el màxim comú divisor igual a 4. Escrivim: mcd (4, 16) = 4.

Anem a descriure com hem arribat a aquest resultat:

• Vam escriure tots els divisors del nombre 4. Hem obtingut: 4, 2, 1.
• A continuació, vam pintar tots els divisors de 16. Vam obtenir: 16, 8, 4, 2, 1.
• Hem escollit divisors que són comuns tant per a 4 com per a 16. Hem obtingut: 4, 2, 1.
• D'entre els divisors comuns resultants, es va triar el més gran. Això és 4.
• Tindrem la resposta: per als números 4 i 16, GCD és 4.

De la mateixa manera, podeu trobar el GCD per a tres o més nombres enters. En aquest cas, serà l'enter més gran pel qual podeu dividir tots els nombres de la sèrie proposada.

Així, per exemple, el major divisor dels nombres enters 6, 12, 18, 42 serà el nombre 6, és a dir, mcd (6, 12, 18, 42) = 6. La resposta es va obtenir mitjançant un algorisme similar al que s'ha descrit anteriorment: per als números d'una sèrie, tots els divisors s'escrivien seqüencialment, després de la qual cosa es va seleccionar el més gran.

Propietats GCD

El màxim comú divisor té una sèrie de propietats que seran rellevants per al MCD dels nombres enters positius amb divisors superiors a zero.

Propietat 1

En canviar de lloc dels números, el valor final de GCD no canviarà. Podeu escriure aquesta afirmació així:

• mcd(a, b) = mcd(b, a).

Propietat 2

Si a és divisible per b, aleshores el conjunt de divisors comuns d'a i b és el mateix que el conjunt de divisors de b. Escrit així:

• gcd(a, b) = b.

La propietat provada del divisor màxim es pot utilitzar per trobar el mcd de dos nombres quan un d'ells és divisible per l'altre. En aquest cas, el MCD és igual a un d'aquests nombres, pel qual un altre és divisible.

Per exemple:

• gcd(12, 4) = 4.

Semblant:

• gcd(10, 1) = 1.

Propietat 3

Si a = bq + c, on a, b, c i q són nombres enters, aleshores el conjunt de divisors comuns de a i b és el mateix que el conjunt de divisors comuns de b i c.

La igualtat mcd (a, b) = mcd (b, c) esdevé vàlida.

Propietat 4

L'expressió mcd(ma, mb) = m ⋅ mcd(a, b) és certa sempre que m sigui qualsevol nombre natural.

Propietat 5

Diguem que p és qualsevol divisor comú de a i b.

Llavors:

• mcd(a/p, b/p) = mcd(a, b)/p.

Si p = mcd(a, b), obtenim:

• mcd (a / mcd (a, b), b / mcd (a, b)) = 1,

Per tant, els nombres a / mcd (a, b) i b / mcd (a, b) són copprims.

Propietat 6

Dos nombres qualsevol tenen almenys un divisor comú: aquest és el número 1.

El coneixement dels fonaments teòrics del concepte GCD, així com les habilitats pràctiques en la seva definició, són necessaris per treballar amb fraccions ordinàries. A més, el GCD està estretament relacionat amb una altra unitat matemàtica: el mínim comú divisor. Ambdues definicions s'estudien normalment com a part d'un currículum escolar estàndard.