Než přistoupíme k definici pojmu největšího společného dělitele (GCD), je nutné porozumět tomu, co je společný dělitel obecně.
Je známo, že celé číslo může mít více dělitelů. Zajímá nás současný přístup k nim několika celými čísly. Společného dělitele několika celých čísel považujeme za číslo, které může fungovat jako dělitel pro každé číslo ze zadané řady.
Například čísla 8 a 12 mají tyto společné dělitele: 1 a 4. To lze snadno ověřit zápisem matematických výrazů: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Je třeba poznamenat, že každé číslo má zpočátku alespoň dva společné dělitele: každé číslo je dělitelné samo o sobě beze zbytku a je také dělitelné 1.
Určení největšího společného dělitele
Největší společný dělitel (GCD) dvou přirozených čísel je největší z přirozených čísel, kterým můžeme dělit dvě naše čísla. Pokud je hodnota největšího společného dělitele dvou přirozených čísel 1, pak tato čísla nazýváme coprime.
Pro dvě čísla aab je největším společným dělitelem číslo, kterým lze beze zbytku dělit aab. Tento výraz je zapsán následovně: gcd (a, b) = c.
Další způsob zápisu GCD: (a, b) = c. Ve většině případů se však používá první možnost.
Takže například čísla 4 a 16 mají největšího společného dělitele rovného 4. Zapišme: gcd (4, 16) = 4.
Popišme, jak jsme došli k tomuto výsledku:
- Vypsali jsme všechny dělitele čísla 4. Dostali jsme: 4, 2, 1.
- Dále jsme vybarvili všechny dělitele 16. Máme: 16, 8, 4, 2, 1.
- Vybrali jsme dělitele, které jsou společné pro 4 i 16. Máme: 4, 2, 1.
- Z výsledných společných dělitelů byl vybrán největší. Toto je 4.
- Dostáváme odpověď: pro čísla 4 a 16 je GCD 4.
Podobně můžete najít GCD pro tři nebo více celých čísel. V tomto případě to bude největší celé číslo, kterým můžete vydělit všechna čísla z navrhované řady.
Takže například největší dělitel pro celá čísla 6, 12, 18, 42 bude číslo 6, tedy gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Odpověď byla získána pomocí algoritmu podobné tomu, co bylo popsáno výše - pro čísla z řady byli postupně vypsáni všichni dělitelé a poté byl vybrán největší z nich.
Vlastnosti GCD
Největší společný dělitel má řadu vlastností, které budou relevantní pro GCD kladných celých čísel s děliteli většími než nula.
Vlastnost 1
Změnou místa čísel se konečná hodnota GCD nezmění. Toto prohlášení můžete napsat takto:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Vlastnost 2
Je-li a dělitelné b, pak množina společných dělitelů aab je stejná jako množina dělitelů b. Napsáno takto:
- gcd(a, b) = b.
Prokázanou vlastnost největšího dělitele lze použít k nalezení gcd dvou čísel, když je jedno z nich dělitelné druhým. V tomto případě se GCD rovná jednomu z těchto čísel, kterým je jiné číslo dělitelné.
Například:
- gcd(12, 4) = 4.
Podobné:
- gcd(10, 1) = 1.
Vlastnost 3
Pokud a = bq + c, kde a, b, c a q jsou celá čísla, pak množina společných dělitelů aab je stejná jako množina společných dělitelů b a c.
Stane se platná rovnost gcd (a, b) = gcd (b, c).
Vlastnost 4
Výraz gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) platí za předpokladu, že m je libovolné přirozené číslo.
Vlastnost 5
Řekněme, že p je libovolný společný dělitel a a b.
Potom:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Pokud p = gcd(a, b), dostaneme:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Čísla a / gcd (a, b) a b / gcd (a, b) jsou tedy druhá.
Vlastnost 6
Jakákoli dvě čísla mají alespoň jednoho společného dělitele – toto je číslo 1.
Pro práci s obyčejnými zlomky je nezbytná znalost teoretických základů konceptu GCD a také praktické dovednosti v jeho definici. Navíc GCD úzce souvisí s další matematickou jednotkou – nejmenším společným dělitelem. Obě definice jsou obvykle studovány jako součást standardních školních osnov.
