Før man går videre til definitionen af begrebet den største fælles divisor (GCD), er det nødvendigt at forstå, hvad en fælles divisor er generelt.
Det er kendt, at et heltal kan have flere divisorer. Vi er interesserede i den samtidige adgang til dem med flere heltal. Vi betragter den fælles divisor for flere heltal som det tal, der kan fungere som divisor for hvert tal fra den angivne serie.
For eksempel har tallene 8 og 12 følgende fælles divisorer: 1 og 4. Dette kan nemt verificeres ved at skrive matematiske udtryk: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Det skal bemærkes, at hvert tal til at begynde med har mindst to fælles divisorer: ethvert tal er deleligt med sig selv uden en rest, og er også deleligt med 1.
At bestemme den største fælles divisor
Den største fælles divisor (GCD) af to naturlige tal er den største af de naturlige tal, som vi kan dividere to af vores tal med. Hvis værdien af den største fælles divisor af to naturlige tal er 1, kalder vi disse tal coprime.
For to tal a og b er den største fælles divisor det tal, som a og b kan divideres med uden en rest. Dette udtryk er skrevet som følger: gcd (a, b) = c.
En anden måde at skrive GCD på: (a, b) = c. Men i de fleste tilfælde bruges den første mulighed.
Så f.eks. har tallene 4 og 16 den største fælles divisor lig med 4. Lad os skrive: gcd (4, 16) = 4.
Lad os beskrive, hvordan vi kom til dette resultat:
- Vi skrev alle divisorerne for tallet 4 ud. Vi fik: 4, 2, 1.
- Derefter malede vi alle divisorerne på 16. Vi fik: 16, 8, 4, 2, 1.
- Vi valgte divisorer, der er fælles for både 4 og 16. Vi fik: 4, 2, 1.
- Ud fra de resulterende fælles divisorer blev den største valgt. Dette er 4.
- Vi får svaret: for tallene 4 og 16 er GCD 4.
På samme måde kan du finde GCD for tre eller flere heltal. I dette tilfælde vil det være det største heltal, som du kan dividere alle tallene fra den foreslåede serie med.
Så for eksempel vil den største divisor for de heltal 6, 12, 18, 42 være tallet 6, det vil sige gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Svaret blev opnået ved hjælp af en algoritme svarende til det, der er beskrevet ovenfor - for tal fra en serie blev alle divisorer sekventielt skrevet ud, hvorefter de største af dem blev valgt.
GCD-egenskaber
Den største fælles divisor har en række egenskaber, der vil være relevante for GCD af positive heltal med divisorer større end nul.
Ejendom 1
Fra skiftende pladser af tal ændres den endelige værdi af GCD ikke. Du kan skrive denne erklæring sådan her:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Ejendom 2
Hvis a er delelig med b, så er mængden af fælles divisorer for a og b den samme som mængden af divisorer for b. Skrevet sådan her:
- gcd(a, b) = b.
Den beviste største divisor-egenskab kan bruges til at finde gcd for to tal, når det ene af dem er deleligt med det andet. I dette tilfælde er GCD lig med et af disse tal, som et andet tal er deleligt med.
For eksempel:
- gcd(12, 4) = 4.
Lignende:
- gcd(10, 1) = 1.
Ejendom 3
Hvis a = bq + c, hvor a, b, c og q er heltal, så er mængden af fælles divisorer for a og b det samme som mængden af fælles divisorer for b og c.
Ligeligheden gcd (a, b) = gcd (b, c) bliver gyldig.
Ejendom 4
Udtrykket gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) er sandt, forudsat at m er ethvert naturligt tal.
Ejendom 5
Lad os sige, at p er en fælles divisor af a og b.
Så:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Hvis p = gcd(a, b), får vi:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Således er tallene a / gcd (a, b) og b / gcd (a, b) coprime.
Ejendom 6
Alle to tal har mindst én fælles divisor - dette er tallet 1.
Kendskab til det teoretiske grundlag for GCD-begrebet, samt praktiske færdigheder i dets definition, er nødvendige for at kunne arbejde med almindelige brøker. Derudover er GCD tæt beslægtet med en anden matematisk enhed - den mindst fælles divisor. Begge definitioner studeres normalt som en del af en standard skoleplan.
