Rechner für den größten gemeinsamen Nenner
Bevor wir mit der Definition des Konzepts des größten gemeinsamen Teilers (GCD) fortfahren, müssen wir verstehen, was ein gemeinsamer Teiler im Allgemeinen ist.
Es ist bekannt, dass eine ganze Zahl mehrere Teiler haben kann. Uns interessiert der gleichzeitige Zugriff mehrerer Ganzzahlen auf sie. Wir betrachten den gemeinsamen Teiler mehrerer Ganzzahlen als die Zahl, die als Teiler für jede Zahl aus der angegebenen Reihe dienen kann.
Zum Beispiel haben die Zahlen 8 und 12 die folgenden gemeinsamen Teiler: 1 und 4. Dies lässt sich leicht überprüfen, indem man mathematische Ausdrücke schreibt: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Es ist zu beachten, dass jede Zahl zunächst mindestens zwei gemeinsame Teiler hat: Jede Zahl ist durch sich selbst ohne Rest teilbar und auch durch 1 teilbar.
Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers
Der größte gemeinsame Teiler (GCD) zweier natürlicher Zahlen ist die größte der natürlichen Zahlen, durch die wir zwei unserer Zahlen dividieren können. Wenn der Wert des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen 1 ist, dann nennen wir diese Zahlen teilerfremd.
Für zwei Zahlen a und b ist der größte gemeinsame Teiler die Zahl, durch die a und b ohne Rest geteilt werden können. Dieser Ausdruck wird wie folgt geschrieben: gcd (a, b) = c.
Eine andere Möglichkeit, GCD zu schreiben: (a, b) = c. In den meisten Fällen wird jedoch die erste Option verwendet.
So haben beispielsweise die Zahlen 4 und 16 den größten gemeinsamen Teiler gleich 4. Schreiben wir: ggT (4, 16) = 4.
Lassen Sie uns beschreiben, wie wir zu diesem Ergebnis gekommen sind:
- Wir haben alle Teiler der Zahl 4 ausgeschrieben. Wir haben: 4, 2, 1.
- Als nächstes haben wir alle Teiler von 16 gemalt. Wir haben: 16, 8, 4, 2, 1.
- Wir haben Teiler gewählt, die sowohl für 4 als auch für 16 üblich sind. Wir erhalten: 4, 2, 1.
- Von den resultierenden gemeinsamen Teilern wurde der größte ausgewählt. Das ist 4.
- Wir erhalten die Antwort: Für die Zahlen 4 und 16 ist GCD 4.
In ähnlicher Weise können Sie den GCD für drei oder mehr ganze Zahlen ermitteln. In diesem Fall handelt es sich um die größte ganze Zahl, durch die Sie alle Zahlen aus der vorgeschlagenen Reihe dividieren können.
So ist beispielsweise der größte Teiler für die ganzen Zahlen 6, 12, 18, 42 die Zahl 6, also ggT (6, 12, 18, 42) = 6. Die Antwort wurde mithilfe eines Algorithmus ermittelt Ähnlich wie oben beschrieben – für Zahlen aus einer Reihe wurden alle Teiler nacheinander ausgeschrieben, danach wurde der größte von ihnen ausgewählt.
GCD-Eigenschaften
Der größte gemeinsame Teiler hat eine Reihe von Eigenschaften, die für die GCD positiver Ganzzahlen mit Teilern größer als Null relevant sind.
Eigenschaft 1
Durch die Änderung der Zahlenstellen ändert sich der Endwert von GCD nicht. Sie können diese Aussage wie folgt schreiben:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Eigenschaft 2
Wenn a durch b teilbar ist, dann ist die Menge der gemeinsamen Teiler von a und b dieselbe wie die Menge der Teiler von b. So geschrieben:
- gcd(a, b) = b.
Die bewährte Eigenschaft des größten Teilers kann verwendet werden, um den ggT zweier Zahlen zu ermitteln, wenn eine von ihnen durch die andere teilbar ist. In diesem Fall ist der GCD gleich einer dieser Zahlen, durch die eine andere Zahl teilbar ist.
Zum Beispiel:
- gcd(12, 4) = 4.
Ähnlich:
- gcd(10, 1) = 1.
Eigenschaft 3
Wenn a = bq + c, wobei a, b, c und q ganze Zahlen sind, dann ist die Menge der gemeinsamen Teiler von a und b dieselbe wie die Menge der gemeinsamen Teiler von b und c.
Die Gleichheit gcd (a, b) = gcd (b, c) wird gültig.
Eigenschaft 4
Der Ausdruck gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) ist wahr, vorausgesetzt, dass m eine beliebige natürliche Zahl ist.
Eigenschaft 5
Sagen wir, p ist ein beliebiger gemeinsamer Teiler von a und b.
Dann:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Wenn p = gcd(a, b), erhalten wir:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Daher sind die Zahlen a / gcd (a, b) und b / gcd (a, b) teilerfremd.
Eigenschaft 6
Zwei beliebige Zahlen haben mindestens einen gemeinsamen Teiler – das ist die Zahl 1.
Kenntnisse über die theoretischen Grundlagen des GCD-Konzepts sowie praktische Fähigkeiten in seiner Definition sind erforderlich, um mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten zu können. Darüber hinaus ist GCD eng mit einer anderen mathematischen Einheit verwandt – dem kleinsten gemeinsamen Teiler. Beide Definitionen werden normalerweise im Rahmen eines Standardlehrplans studiert.
