Πριν προχωρήσετε στον ορισμό της έννοιας του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD), είναι απαραίτητο να κατανοήσετε τι είναι γενικά ο κοινός διαιρέτης.
Είναι γνωστό ότι ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να έχει πολλούς διαιρέτες. Μας ενδιαφέρει η ταυτόχρονη πρόσβαση σε αυτά από αρκετούς ακέραιους αριθμούς. Θεωρούμε ότι ο κοινός διαιρέτης πολλών ακεραίων είναι ο αριθμός που μπορεί να λειτουργήσει ως διαιρέτης για κάθε αριθμό από την καθορισμένη σειρά.
Για παράδειγμα, οι αριθμοί 8 και 12 έχουν τους ακόλουθους κοινούς διαιρέτες: 1 και 4. Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί γράφοντας μαθηματικές παραστάσεις: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κάθε αριθμός αρχικά έχει τουλάχιστον δύο κοινούς διαιρέτες: οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται από τον εαυτό του χωρίς υπόλοιπο και διαιρείται επίσης με το 1.
Προσδιορισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) δύο φυσικών αριθμών είναι ο μεγαλύτερος από τους φυσικούς αριθμούς με τον οποίο μπορούμε να διαιρέσουμε δύο από τους αριθμούς μας. Εάν η τιμή του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο φυσικών αριθμών είναι 1, τότε ονομάζουμε αυτούς τους αριθμούς συνπρωτικούς.
Για δύο αριθμούς a και b, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι ο αριθμός με τον οποίο μπορούν να διαιρεθούν τα a και b χωρίς υπόλοιπο. Αυτή η έκφραση γράφεται ως εξής: gcd (a, b) = c.
Ένας άλλος τρόπος για να γράψετε GCD: (a, b) = c. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται η πρώτη επιλογή.
Έτσι, για παράδειγμα, οι αριθμοί 4 και 16 έχουν τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη ίσο με 4. Ας γράψουμε: gcd (4, 16) = 4.
Ας περιγράψουμε πώς καταλήξαμε σε αυτό το αποτέλεσμα:
- Διαγράψαμε όλους τους διαιρέτες του αριθμού 4. Πήραμε: 4, 2, 1.
- Στη συνέχεια, ζωγραφίσαμε όλους τους διαιρέτες του 16. Πήραμε: 16, 8, 4, 2, 1.
- Επιλέξαμε διαιρέτες που είναι κοινοί για το 4 και το 16. Πήραμε: 4, 2, 1.
- Από τους κοινούς διαιρέτες που προέκυψαν, επιλέχθηκε ο μεγαλύτερος. Αυτό είναι 4.
- Λαμβάνουμε την απάντηση: για τους αριθμούς 4 και 16 το GCD είναι 4.
Ομοίως, μπορείτε να βρείτε το GCD για τρεις ή περισσότερους ακέραιους αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, θα είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος με τον οποίο μπορείτε να διαιρέσετε όλους τους αριθμούς από την προτεινόμενη σειρά.
Έτσι, για παράδειγμα, ο μεγαλύτερος διαιρέτης για τους ακέραιους αριθμούς 6, 12, 18, 42 θα είναι ο αριθμός 6, δηλαδή, gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Η απάντηση λήφθηκε χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο παρόμοιο με αυτό που περιγράφηκε παραπάνω - για αριθμούς από μια σειρά, όλοι οι διαιρέτες γράφτηκαν διαδοχικά και μετά επιλέχθηκαν οι μεγαλύτεροι από αυτούς.
Ιδιότητες GCD
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης έχει έναν αριθμό ιδιοτήτων που θα σχετίζονται με το GCD θετικών ακεραίων με διαιρέτες μεγαλύτερους από μηδέν.
Ιδιότητα 1
Από την αλλαγή θέσεων αριθμών, η τελική τιμή του GCD δεν θα αλλάξει. Μπορείτε να γράψετε αυτήν τη δήλωση ως εξής:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Ιδιότητα 2
Αν το a διαιρείται με το b, τότε το σύνολο των κοινών διαιρετών του a και του b είναι ίδιο με το σύνολο των διαιρετών του b. Γράφτηκε ως εξής:
- gcd(a, b) = b.
Η αποδεδειγμένη ιδιότητα του μεγαλύτερου διαιρέτη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση του gcd δύο αριθμών όταν ο ένας από αυτούς διαιρείται με τον άλλο. Σε αυτήν την περίπτωση, το GCD είναι ίσο με έναν από αυτούς τους αριθμούς, με τον οποίο διαιρείται ένας άλλος αριθμός.
Για παράδειγμα:
- gcd(12, 4) = 4.
Παρόμοιο:
- gcd(10, 1) = 1.
Ιδιότητα 3
Αν a = bq + c, όπου τα a, b, c και q είναι ακέραιοι, τότε το σύνολο των κοινών διαιρετών των a και b είναι το ίδιο με το σύνολο των κοινών διαιρετών των b και c.
Η ισότητα gcd (a, b) = gcd (b, c) καθίσταται έγκυρη.
Ιδιότητα 4
Η έκφραση gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) είναι αληθής υπό τον όρο ότι m είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.
Ιδιότητα 5
Ας υποθέσουμε ότι το p είναι οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης των a και b.
Στη συνέχεια:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Αν p = gcd(a, b), παίρνουμε:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Έτσι, οι αριθμοί a / gcd (a, b) και b / gcd (a, b) είναι συμπρώτοι.
Ιδιότητα 6
Οποιοιδήποτε δύο αριθμοί έχουν τουλάχιστον έναν κοινό διαιρέτη - αυτός είναι ο αριθμός 1.
Η γνώση των θεωρητικών θεμελίων της έννοιας του GCD, καθώς και οι πρακτικές δεξιότητες στον ορισμό της, είναι απαραίτητες για την εργασία με συνηθισμένα κλάσματα. Επιπλέον, το GCD σχετίζεται στενά με μια άλλη μαθηματική μονάδα - τον λιγότερο κοινό διαιρέτη. Και οι δύο ορισμοί συνήθως μελετώνται ως μέρος ενός τυπικού σχολικού προγράμματος σπουδών.
