Antes de pasar a la definición del concepto de máximo común divisor (MCD), es necesario comprender qué es un divisor común en general.
Se sabe que un número entero puede tener múltiples divisores. Nos interesa el acceso simultáneo a ellos por varios enteros. Consideramos que el divisor común de varios números enteros es el número que puede actuar como divisor para cada número de la serie especificada.
Por ejemplo, los números 8 y 12 tienen los siguientes divisores comunes: 1 y 4. Esto se puede verificar fácilmente escribiendo expresiones matemáticas: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Cabe señalar que cada número inicialmente tiene al menos dos divisores comunes: cualquier número es divisible por sí mismo sin resto, y también es divisible por 1.
Determinación del máximo común divisor
El máximo común divisor (MCD) de dos números naturales es el mayor de los números naturales por el que podemos dividir dos de nuestros números. Si el valor del máximo común divisor de dos números naturales es 1, entonces llamamos a estos números coprimos.
Para dos números a y b, el máximo común divisor es el número por el cual a y b se pueden dividir sin resto. Esta expresión se escribe de la siguiente manera: mcd (a, b) = c.
Otra forma de escribir MCD: (a, b) = c. Sin embargo, en la mayoría de los casos, se utiliza la primera opción.
Entonces, por ejemplo, los números 4 y 16 tienen el máximo común divisor igual a 4. Escribamos: mcd (4, 16) = 4.
Vamos a describir cómo llegamos a este resultado:
- Escribimos todos los divisores del número 4. Obtuvimos: 4, 2, 1.
- Luego, pintamos todos los divisores de 16. Obtuvimos: 16, 8, 4, 2, 1.
- Elegimos divisores que son comunes tanto para 4 como para 16. Obtuvimos: 4, 2, 1.
- De los divisores comunes resultantes, se eligió el mayor. Esto es 4.
- Obtenemos la respuesta: para los números 4 y 16, MCD es 4.
Del mismo modo, puedes encontrar el MCD de tres o más enteros. En este caso, será el número entero más grande por el que se pueden dividir todos los números de la serie propuesta.
Entonces, por ejemplo, el mayor divisor de los enteros 6, 12, 18, 42 será el número 6, es decir, mcd (6, 12, 18, 42) = 6. La respuesta se obtuvo mediante un algoritmo similar a lo que se describió anteriormente: para los números de una serie, todos los divisores se escribieron secuencialmente, después de lo cual se seleccionó el más grande.
Propiedades de GCD
El máximo común divisor tiene una serie de propiedades que serán relevantes para el MCD de enteros positivos con divisores mayores que cero.
Propiedad 1
Al cambiar de lugar los números, el valor final de GCD no cambiará. Puedes escribir esta declaración así:
- mcd(a, b) = mcd(b, a).
Propiedad 2
Si a es divisible por b, entonces el conjunto de divisores comunes de a y b es el mismo que el conjunto de divisores de b. Escrito así:
- mcd(a, b) = b.
La propiedad comprobada del máximo divisor se puede usar para encontrar el mcd de dos números cuando uno de ellos es divisible por el otro. En este caso, el MCD es igual a uno de estos números, por el cual otro número es divisible.
Por ejemplo:
- mcd(12, 4) = 4.
Similar:
- mcd(10, 1) = 1.
Propiedad 3
Si a = bq + c, donde a, b, c y q son números enteros, entonces el conjunto de divisores comunes de a y b es el mismo que el conjunto de divisores comunes de b y c.
La igualdad mcd (a, b) = mcd (b, c) se vuelve válida.
Propiedad 4
La expresión mcd(ma, mb) = m ⋅ mcd(a, b) es verdadera siempre que m sea cualquier número natural.
Propiedad 5
Digamos que p es cualquier divisor común de a y b.
Entonces:
- mcd(a/p, b/p) = mcd(a, b)/p.
Si p = mcd(a, b), obtenemos:
- mcd (a / mcd (a, b), b / mcd (a, b)) = 1,
Así, los números a/mcd (a, b) y b/mcd (a, b) son coprimos.
Propiedad 6
Dos números cualesquiera tienen al menos un divisor común: este es el número 1.
El conocimiento de los fundamentos teóricos del concepto GCD, así como habilidades prácticas en su definición, son necesarios para trabajar con fracciones ordinarias. Además, GCD está estrechamente relacionado con otra unidad matemática: el mínimo común divisor. Ambas definiciones generalmente se estudian como parte de un plan de estudios escolar estándar.
