Enne suurima ühisjagaja (GCD) mõiste määratlemise juurde asumist on vaja mõista, mis on ühine jagaja üldiselt.
On teada, et täisarvul võib olla mitu jagajat. Oleme huvitatud mitme täisarvu samaaegsest juurdepääsust neile. Mitme täisarvu ühiseks jagajaks loeme arvu, mis võib toimida määratud seeria iga arvu jagajana.
Näiteks arvudel 8 ja 12 on järgmised ühised jagajad: 1 ja 4. Seda saab hõlpsasti kontrollida, kirjutades matemaatilisi avaldisi: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Tuleb märkida, et igal arvul on esialgu vähemalt kaks ühist jagajat: iga arv jagub iseendaga ilma jäägita ja jagub ka 1-ga.
Suurima ühise jagaja määramine
Kahe naturaalarvu suurim ühine jagaja (GCD) on suurim naturaalarvudest, millega saame oma kahte arvu jagada. Kui kahe naturaalarvu suurima ühisjagaja väärtus on 1, siis nimetame neid numbreid koprime.
Kahe arvu a ja b puhul on suurim ühisjagaja arv, millega a ja b saab jagada ilma jäägita. See avaldis on kirjutatud järgmiselt: gcd (a, b) = c.
Teine viis GCD kirjutamiseks: (a, b) = c. Enamasti kasutatakse siiski esimest võimalust.
Nii näiteks on arvude 4 ja 16 suurim ühisjagaja 4. Kirjutame: gcd (4, 16) = 4.
Kirjeldame, kuidas me selle tulemuseni jõudsime:
- Kirjutasime välja kõik arvu 4 jagajad. Saime: 4, 2, 1.
- Järgmisena värvisime kõik 16 jagajad. Saime: 16, 8, 4, 2, 1.
- Valisime jagajad, mis on ühised nii 4 kui 16 jaoks. Saime: 4, 2, 1.
- Saadud ühisjagajate hulgast valiti suurim. See on 4.
- Saame vastuse: numbrite 4 ja 16 puhul on GCD 4.
Samamoodi leiate GCD kolme või enama täisarvu jaoks. Sel juhul on see suurim täisarv, millega saate kõik pakutud seeria numbrid jagada.
Nii näiteks on täisarvude 6, 12, 18, 42 suurim jagaja arv 6, st gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Vastus saadi algoritmi abil sarnaselt ülalkirjeldatule – seeria numbrite puhul kirjutati järjest välja kõik jagajad, misjärel valiti neist suurim.
GCD omadused
Suurimal ühisel jagajal on mitmeid omadusi, mis on olulised nullist suuremate jagajate positiivsete täisarvude GCD puhul.
Atribuut 1
Numbrite kohtade muutmisel GCD lõplik väärtus ei muutu. Saate selle avalduse kirjutada järgmiselt:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Atribuut 2
Kui a jagab b-ga, siis on a ja b ühisjagajate hulk sama, mis b jagajate hulk. Kirjutatud nii:
- gcd(a, b) = b.
Tõestatud suurimat jagaja omadust saab kasutada kahe arvu gcd leidmiseks, kui üks neist jagub teisega. Sel juhul on GCD võrdne ühega neist arvudest, millega teine arv jagub.
Näiteks:
- gcd(12, 4) = 4.
Sarnane:
- gcd(10, 1) = 1.
Atribuut 3
Kui a = bq + c, kus a, b, c ja q on täisarvud, siis on a ja b ühisjagajate hulk sama, mis b ja c ühisjagajate hulk.
Võrdsus gcd (a, b) = gcd (b, c) hakkab kehtima.
Atribuut 4
Avaldis gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) on tõene tingimusel, et m on mis tahes naturaalarv.
Atribuut 5
Oletame, et p on a ja b mis tahes ühine jagaja.
Siis:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Kui p = gcd(a, b), saame:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Seega on arvud a / gcd (a, b) ja b / gcd (a, b) koaprima.
Atribuut 6
Igal kahel arvul on vähemalt üks ühine jagaja – see on arv 1.
Tavamurdudega töötamiseks on vajalikud teadmised GCD kontseptsiooni teoreetiliste aluste kohta, samuti praktilised oskused selle määratlemisel. Lisaks on GCD tihedalt seotud teise matemaatilise ühikuga – kõige vähem levinud jagajaga. Mõlemat määratlust uuritakse tavaliselt kooli standardõppekava osana.
