Avant de passer à la définition du concept de plus grand diviseur commun (PGCD), il est nécessaire de comprendre ce qu'est un diviseur commun en général.
On sait qu'un entier peut avoir plusieurs diviseurs. On s'intéresse à leur accès simultané par plusieurs entiers. Nous considérons que le diviseur commun de plusieurs nombres entiers est le nombre qui peut servir de diviseur pour chaque nombre de la série spécifiée.
Par exemple, les nombres 8 et 12 ont les diviseurs communs suivants : 1 et 4. Cela peut être facilement vérifié en écrivant des expressions mathématiques : 8 = 4 ⋅ 2 ; 12 = 3 ⋅ 4.
Il convient de noter que chaque nombre a initialement au moins deux diviseurs communs : tout nombre est divisible par lui-même sans reste, et est également divisible par 1.
Déterminer le plus grand diviseur commun
Le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux nombres naturels est le plus grand des nombres naturels par lequel nous pouvons diviser deux de nos nombres. Si la valeur du plus grand commun diviseur de deux nombres naturels est 1, alors nous appelons ces nombres premiers entre eux.
Pour deux nombres a et b, le plus grand diviseur commun est le nombre par lequel a et b peuvent être divisés sans reste. Cette expression s'écrit comme suit : pgcd (a, b) = c.
Une autre façon d'écrire PGCD : (a, b) = c. Cependant, dans la plupart des cas, la première option est utilisée.
Ainsi, par exemple, les nombres 4 et 16 ont le plus grand diviseur commun égal à 4. Écrivons : pgcd (4, 16) = 4.
Décrivons comment nous sommes arrivés à ce résultat :
- Nous avons écrit tous les diviseurs du nombre 4. Nous avons : 4, 2, 1.
- Ensuite, nous avons peint tous les diviseurs de 16. Nous avons obtenu : 16, 8, 4, 2, 1.
- Nous avons choisi des diviseurs communs à 4 et 16. Nous avons : 4, 2, 1.
- Parmi les diviseurs communs obtenus, le plus grand a été choisi. C'est 4.
- Nous obtenons la réponse : pour les nombres 4 et 16, GCD est 4.
De même, vous pouvez trouver le PGCD pour trois entiers ou plus. Dans ce cas, ce sera le plus grand nombre entier par lequel vous pouvez diviser tous les nombres de la série proposée.
Ainsi, par exemple, le plus grand diviseur des nombres entiers 6, 12, 18, 42 sera le nombre 6, c'est-à-dire pgcd (6, 12, 18, 42) = 6. La réponse a été obtenue à l'aide d'un algorithme similaire à ce qui a été décrit ci-dessus - pour les nombres d'une série, tous les diviseurs ont été écrits séquentiellement, après quoi le plus grand d'entre eux a été sélectionné.
Propriétés GCD
Le plus grand diviseur commun a un certain nombre de propriétés qui seront pertinentes pour le PGCD d'entiers positifs avec des diviseurs supérieurs à zéro.
Propriété 1
Depuis le changement de place des nombres, la valeur finale de GCD ne changera pas. Vous pouvez écrire cette déclaration comme ceci :
- pgcd(a, b) = pgcd(b, a).
Propriété 2
Si a est divisible par b, alors l'ensemble des diviseurs communs de a et b est le même que l'ensemble des diviseurs de b. Écrit comme ceci :
- pgcd(a, b) = b.
La propriété éprouvée du plus grand diviseur peut être utilisée pour trouver le pgcd de deux nombres lorsque l'un d'eux est divisible par l'autre. Dans ce cas, le PGCD est égal à l'un de ces nombres, par lequel un autre nombre est divisible.
Par exemple :
- pgcd(12, 4) = 4.
Similaire :
- pgcd(10, 1) = 1.
Propriété 3
Si a = bq + c, où a, b, c et q sont des entiers, alors l'ensemble des diviseurs communs de a et b est le même que l'ensemble des diviseurs communs de b et c.
L'égalité pgcd (a, b) = pgcd (b, c) devient valide.
Propriété 4
L'expression pgcd(ma, mb) = m ⋅ pgcd(a, b) est vraie à condition que m soit un entier naturel.
Propriété 5
Disons que p est n'importe quel diviseur commun de a et b.
Alors :
- pgcd(a / p, b / p) = pgcd(a, b) / p.
Si p = pgcd(a, b), on obtient :
- pgcd (a / pgcd (a, b), b / pgcd (a, b)) = 1,
Ainsi, les nombres a / pgcd (a, b) et b / pgcd (a, b) sont premiers entre eux.
Propriété 6
Deux nombres ont au moins un diviseur commun - c'est le nombre 1.
La connaissance des fondements théoriques du concept GCD, ainsi que des compétences pratiques dans sa définition, sont nécessaires pour travailler avec des fractions ordinaires. De plus, GCD est étroitement lié à une autre unité mathématique - le plus petit diviseur commun. Les deux définitions sont généralement étudiées dans le cadre d'un programme scolaire standard.
