לפני שממשיכים להגדרת המושג של המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD), יש צורך להבין מהו מחלק משותף באופן כללי.
ידוע שלמספר שלם יכולים להיות מחלקים מרובים. אנו מעוניינים בגישה אליהם בו-זמנית על ידי מספר מספרים שלמים. אנו מחשיבים את המחלק המשותף של מספר מספרים שלמים כמספר שיכול לשמש כמחלק עבור כל מספר מהסדרה שצוינה.
לדוגמה, למספרים 8 ו-12 יש את המחלקים המשותפים הבאים: 1 ו-4. ניתן לאמת זאת בקלות על ידי כתיבת ביטויים מתמטיים: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
יש לציין שלכל מספר יש בתחילה לפחות שני מחלקים משותפים: כל מספר מתחלק בעצמו ללא שארית, ומתחלק גם ב-1.
קביעת המחלק המשותף הגדול ביותר
המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) של שני מספרים טבעיים הוא הגדול מבין המספרים הטבעיים שבהם אנו יכולים לחלק שניים מהמספרים שלנו. אם הערך של המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים טבעיים הוא 1, אנו קוראים למספרים אלה קו-פריים.
עבור שני מספרים a ו-b, המחלק המשותף הגדול ביותר הוא המספר שבו ניתן לחלק את a ו-b ללא שארית. ביטוי זה נכתב באופן הבא: gcd (a, b) = c.
דרך נוספת לכתוב GCD: (א, ב) = ג. עם זאת, ברוב המקרים, נעשה שימוש באפשרות הראשונה.
לדוגמה, למספרים 4 ו-16 יש את המחלק המשותף הגדול ביותר השווה ל-4. בוא נכתוב: gcd (4, 16) = 4.
בוא נתאר כיצד הגענו לתוצאה זו:
- כתבנו את כל המחלקים של המספר 4. קיבלנו: 4, 2, 1.
- לאחר מכן, צבענו את כל המחלקים של 16. קיבלנו: 16, 8, 4, 2, 1.
- בחרנו מחלקים שמשותפים ל-4 וגם ל-16. קיבלנו: 4, 2, 1.
- מהמחלקים המשותפים שהתקבלו, נבחר הגדול ביותר. זה 4.
- אנו מקבלים את התשובה: עבור המספרים 4 ו-16 GCD הוא 4.
בדומה, אתה יכול למצוא את ה-GCD עבור שלושה מספרים שלמים או יותר. במקרה זה, זה יהיה המספר השלם הגדול ביותר שבו תוכל לחלק את כל המספרים מהסדרה המוצעת.
לדוגמה, המחלק הגדול ביותר עבור המספרים השלמים 6, 12, 18, 42 יהיה המספר 6, כלומר gcd (6, 12, 18, 42) = 6. התשובה התקבלה באמצעות אלגוריתם בדומה למה שתואר לעיל - עבור מספרים מסדרה, כל המחלקים נכתבו ברצף, ולאחר מכן נבחרו הגדולים שבהם.
מאפייני GCD
למחלק המשותף הגדול ביותר יש מספר מאפיינים שיהיו רלוונטיים עבור GCD של מספרים שלמים חיוביים עם מחלקים גדולים מאפס.
נכס 1
משינוי מקומות של מספרים, הערך הסופי של GCD לא ישתנה. אתה יכול לכתוב את ההצהרה הזו כך:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
נכס 2
אם a מתחלק ב-b, אזי קבוצת המחלקים המשותפים של a ו-b זהה לקבוצת המחלקים של b. כתוב כך:
- gcd(a, b) = b.
ניתן להשתמש בתכונת המחלק הגדול ביותר שהוכחה כדי למצוא את gcd של שני מספרים כאשר אחד מהם מתחלק בשני. במקרה זה, ה-GCD שווה לאחד מהמספרים הללו, שבאמצעותו ניתן לחלק מספר אחר.
לדוגמה:
- gcd(12, 4) = 4.
דומה:
- gcd(10, 1) = 1.
נכס 3
אם a = bq + c, כאשר a, b, c ו-q הם מספרים שלמים, אז קבוצת המחלקים המשותפים של a ו-b זהה לקבוצת המחלקים המשותפים של b ו-c.
השוויון gcd (a, b) = gcd (b, c) הופך לתקף.
נכס 4
הביטוי gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a,b) נכון בתנאי שm הוא מספר טבעי כלשהו.
נכס 5
נניח ש-p הוא כל מחלק משותף של a ו-b.
לאחר מכן:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
אם p = gcd(a,b), נקבל:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
לכן, המספרים a / gcd (a, b) ו-b / gcd (a, b) הם ראשוניים.
נכס 6
לכל שני מספרים יש לפחות מחלק משותף אחד - זה המספר 1.
ידע על היסודות התיאורטיים של מושג ה-GCD, כמו גם מיומנויות מעשיות בהגדרתו, נחוצים על מנת לעבוד עם שברים רגילים. בנוסף, GCD קשור קשר הדוק ליחידה מתמטית אחרת - המחלק הפחות משותף. שתי ההגדרות נלמדות בדרך כלל כחלק מתוכנית לימודים סטנדרטית של בית ספר.
