Calcolatrice MCD

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Calcolatore del massimo comune divisore

Prima di procedere alla definizione del concetto di massimo comune divisore (MCD), è necessario capire cos'è in generale un comune divisore.

È noto che un numero intero può avere più divisori. Siamo interessati all'accesso simultaneo ad essi da parte di più numeri interi. Consideriamo il divisore comune di più numeri interi il numero che può fungere da divisore per ogni numero della serie specificata.

Ad esempio, i numeri 8 e 12 hanno i seguenti divisori comuni: 1 e 4. Questo può essere facilmente verificato scrivendo espressioni matematiche: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Va notato che ogni numero ha inizialmente almeno due divisori comuni: qualsiasi numero è divisibile per se stesso senza resto, ed è anche divisibile per 1.

Determinazione del massimo comune divisore

Il massimo comun divisore (MCD) di due numeri naturali è il più grande dei numeri naturali per cui possiamo dividere due dei nostri numeri. Se il valore del massimo comune divisore di due numeri naturali è 1, allora chiamiamo questi numeri coprimi.

Per due numeri a e b, il massimo comune divisore è il numero per il quale a e b possono essere divisi senza resto. Questa espressione è scritta come segue: gcd (a, b) = c.

Un altro modo per scrivere MCD: (a, b) = c. Tuttavia, nella maggior parte dei casi, viene utilizzata la prima opzione.

Quindi, ad esempio, i numeri 4 e 16 hanno il massimo comune divisore pari a 4. Scriviamo: MCD (4, 16) = 4.

Descriviamo come siamo arrivati a questo risultato:

Abbiamo scritto tutti i divisori del numero 4. Abbiamo ottenuto: 4, 2, 1.
Successivamente, abbiamo disegnato tutti i divisori di 16. Abbiamo ottenuto: 16, 8, 4, 2, 1.
Abbiamo scelto divisori comuni sia per 4 che per 16. Abbiamo ottenuto: 4, 2, 1.
Tra i divisori comuni risultanti, è stato scelto il più grande. Questo è 4.
Otteniamo la risposta: per i numeri 4 e 16 MCD è 4.

Allo stesso modo, puoi trovare il MCD per tre o più numeri interi. In questo caso, sarà il numero intero più grande per cui dividere tutti i numeri della serie proposta.

Quindi, ad esempio, il massimo divisore per gli interi 6, 12, 18, 42 sarà il numero 6, ovvero MCD (6, 12, 18, 42) = 6. La risposta è stata ottenuta utilizzando un algoritmo simile a quanto descritto sopra: per i numeri di una serie, tutti i divisori sono stati scritti in sequenza, dopodiché è stato selezionato il più grande.

Proprietà GCD

Il massimo comune divisore ha un numero di proprietà che saranno rilevanti per MCD di numeri interi positivi con divisori maggiori di zero.

Proprietà 1

Dal cambio di posizione dei numeri, il valore finale di MCD non cambierà. Puoi scrivere questa affermazione in questo modo:

mcd(a, b) = mcd(b, a).

Proprietà 2

Se a è divisibile per b, allora l'insieme dei divisori comuni di aeb è uguale all'insieme dei divisori di b. Scritto così:

mcd(a, b) = b.

La comprovata proprietà del massimo divisore può essere utilizzata per trovare il MCD di due numeri quando uno di essi è divisibile per l'altro. In questo caso, il MCD è uguale a uno di questi numeri, per il quale è divisibile un altro numero.

Ad esempio:

mcd(12, 4) = 4.

Simile:

mcd(10, 1) = 1.

Proprietà 3

Se a = bq + c, dove a, b, c e q sono numeri interi, allora l'insieme dei divisori comuni di a e b è uguale all'insieme dei divisori comuni di b e c.

L'uguaglianza MCD (a, b) = MCD (b, c) diventa valida.

Proprietà 4

L'espressione mcd(ma, mb) = m ⋅ mcd(a, b) è vera purché m sia un qualsiasi numero naturale.

Proprietà 5

Supponiamo che p sia un qualsiasi divisore comune di a e b.

Allora:

mcd(a / p, b / p) = mcd(a, b) / p.

Se p = MCD(a, b), otteniamo:

mcd (a / mcd (a, b), b / mcd (a, b)) = 1,

Pertanto, i numeri a / mcd (a, b) e b / mcd (a, b) sono coprimi.

Proprietà 6

Due numeri qualsiasi hanno almeno un divisore comune: questo è il numero 1.

La conoscenza dei fondamenti teorici del concetto MCD, così come le abilità pratiche nella sua definizione, sono necessarie per lavorare con le frazioni ordinarie. Inoltre, MCD è strettamente correlato a un'altra unità matematica: il minimo comune divisore. Entrambe le definizioni sono generalmente studiate come parte di un curriculum scolastico standard.

Come trovare il massimo comune divisore

Trovare il massimo comun divisore (mcd) è un compito abbastanza comune. Questa azione ci aiuta a eseguire calcoli in cui compaiono frazioni ordinarie.

Metodi per trovare GCD

Esistono diversi trucchi per trovare il massimo comune divisore. Prenderemo in considerazione il più popolare di loro.

Trovare il MCD con scomposizione dei numeri in fattori primi

Questo metodo è uno dei più usati per risolvere problemi matematici.

L'algoritmo per determinare MCD con scomposizione in fattori primi consiste nei seguenti passaggi:

Rappresentiamo i numeri come fattori primi. Ad esempio, il numero 20 può essere rappresentato come un prodotto di 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Seleziona i fattori che saranno presenti in entrambe le espansioni.
Trova il prodotto di questi fattori.

Consideriamo alcuni esempi dell'applicazione pratica di questo algoritmo:

Determina il MCD dei numeri 12 e 8.

Scomponi 12 e 8 in fattori primi:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Osserviamo quali fattori sono presenti in entrambe le espansioni. Trova: 2 e 2.

Moltiplicando i fattori otteniamo:

2 ⋅ 2 = 4.

Risposta: MCD (12, 8) = 4.

Determina il MCD dei numeri 75 e 150.

La sequenza della soluzione è simile all'esempio precedente.

Rappresentiamo 75 e 150 come fattori primi:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Determina i fattori ripetuti in entrambe le espansioni: 3, 5 e 5.

Moltiplichiamo i numeri risultanti: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Risposta: MCD (75, 150) = 75.

Determina il MCD dei numeri 9 e 5.

Questo esempio utilizza numeri primi il cui moltiplicatore può essere solo 1.

Quando scomponiamo 9 e 5 in fattori primi, vedremo che non hanno gli stessi fattori:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Va ricordato che questa custodia è speciale. Tali numeri sono coprimi e il loro divisore comune è uno.

Algoritmo di Euclide

Questo algoritmo prende il nome dall'antico matematico greco Euclide, che per primo lo descrisse nei suoi scritti (7° e 10° libro degli "Inizi"). È noto che Euclide non era l'autore di questo algoritmo. Tuttavia, è considerato uno degli algoritmi più antichi in uso oggi.

L'algoritmo di Euclide semplifica il calcolo del massimo comune divisore di due numeri positivi.

Per trovare MCD (a, b), questo algoritmo ha questo aspetto:

Se a = 0 allora mcd(a, b) = b perché mcd(0, b) = b e l'algoritmo si ferma.
Se b = 0 allora mcd(a, b) = a perché mcd(a, 0) = a e l'algoritmo si ferma.
Dividi a per b con resto (a = b ⋅ q + r)
Trova mcd(b, r) usando l'algoritmo di Euclide perché mcd(a, b) = mcd(b, r).

Per verificare l'efficacia del metodo nella pratica, considera un esempio.

È necessario determinare il MCD dei numeri 270 e 192.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Dividi a per b, otteniamo:

270 / 192 = 1 (il resto è 78).

Puoi scrivere il risultato come: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Successivamente, calcoleremo MCD (192, 78), poiché MCD (270, 192) = MCD (192, 78).

Andiamo avanti.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Dividi a per b, otteniamo:

192 / 78 = 2 (il resto è 36).

Può essere scritto come:

192 = 78⋅2 + 36.

Calcola MCD(78, 36) poiché MCD(192, 78) = MCD(78, 36).

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Dividi a per b, otteniamo:

78 / 36 = 2 (il resto è 0).

Scriviamo il risultato come:

78 = 36⋅ 2 + 6.

Calcola MCD(36, 6) poiché MCD(78, 36) = MCD(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Dividi A per B, otteniamo 36/6 = 6 (il resto è 0).

Scrivi il risultato nella seguente forma:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Successivamente troviamo mcd(6, 0) poiché mcd(36, 6) = mcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Come risultato abbiamo:

mcd(6, 0) = 6.

Quindi, abbiamo la seguente sequenza di calcoli:

mcd(270, 192) = mcd(192, 78) = mcd(78, 36) = mcd(36, 6) = mcd(6, 0) = 6.

Di conseguenza, abbiamo la risposta:

mcd(270, 192) = 6.

Ciascuno dei metodi di ricerca discussi sopra ha i suoi vantaggi e svantaggi. Il primo metodo è ottimo per lavorare con esempi relativamente semplici, a differenza del secondo, che può essere utilizzato per risolvere problemi matematici più complessi.