Prima di procedere alla definizione del concetto di massimo comune divisore (MCD), è necessario capire cos'è in generale un comune divisore.
È noto che un numero intero può avere più divisori. Siamo interessati all'accesso simultaneo ad essi da parte di più numeri interi. Consideriamo il divisore comune di più numeri interi il numero che può fungere da divisore per ogni numero della serie specificata.
Ad esempio, i numeri 8 e 12 hanno i seguenti divisori comuni: 1 e 4. Questo può essere facilmente verificato scrivendo espressioni matematiche: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Va notato che ogni numero ha inizialmente almeno due divisori comuni: qualsiasi numero è divisibile per se stesso senza resto, ed è anche divisibile per 1.
Determinazione del massimo comune divisore
Il massimo comun divisore (MCD) di due numeri naturali è il più grande dei numeri naturali per cui possiamo dividere due dei nostri numeri. Se il valore del massimo comune divisore di due numeri naturali è 1, allora chiamiamo questi numeri coprimi.
Per due numeri a e b, il massimo comune divisore è il numero per il quale a e b possono essere divisi senza resto. Questa espressione è scritta come segue: gcd (a, b) = c.
Un altro modo per scrivere MCD: (a, b) = c. Tuttavia, nella maggior parte dei casi, viene utilizzata la prima opzione.
Quindi, ad esempio, i numeri 4 e 16 hanno il massimo comune divisore pari a 4. Scriviamo: MCD (4, 16) = 4.
Descriviamo come siamo arrivati a questo risultato:
- Abbiamo scritto tutti i divisori del numero 4. Abbiamo ottenuto: 4, 2, 1.
- Successivamente, abbiamo disegnato tutti i divisori di 16. Abbiamo ottenuto: 16, 8, 4, 2, 1.
- Abbiamo scelto divisori comuni sia per 4 che per 16. Abbiamo ottenuto: 4, 2, 1.
- Tra i divisori comuni risultanti, è stato scelto il più grande. Questo è 4.
- Otteniamo la risposta: per i numeri 4 e 16 MCD è 4.
Allo stesso modo, puoi trovare il MCD per tre o più numeri interi. In questo caso, sarà il numero intero più grande per cui dividere tutti i numeri della serie proposta.
Quindi, ad esempio, il massimo divisore per gli interi 6, 12, 18, 42 sarà il numero 6, ovvero MCD (6, 12, 18, 42) = 6. La risposta è stata ottenuta utilizzando un algoritmo simile a quanto descritto sopra: per i numeri di una serie, tutti i divisori sono stati scritti in sequenza, dopodiché è stato selezionato il più grande.
Proprietà GCD
Il massimo comune divisore ha un numero di proprietà che saranno rilevanti per MCD di numeri interi positivi con divisori maggiori di zero.
Proprietà 1
Dal cambio di posizione dei numeri, il valore finale di MCD non cambierà. Puoi scrivere questa affermazione in questo modo:
- mcd(a, b) = mcd(b, a).
Proprietà 2
Se a è divisibile per b, allora l'insieme dei divisori comuni di aeb è uguale all'insieme dei divisori di b. Scritto così:
- mcd(a, b) = b.
La comprovata proprietà del massimo divisore può essere utilizzata per trovare il MCD di due numeri quando uno di essi è divisibile per l'altro. In questo caso, il MCD è uguale a uno di questi numeri, per il quale è divisibile un altro numero.
Ad esempio:
- mcd(12, 4) = 4.
Simile:
- mcd(10, 1) = 1.
Proprietà 3
Se a = bq + c, dove a, b, c e q sono numeri interi, allora l'insieme dei divisori comuni di a e b è uguale all'insieme dei divisori comuni di b e c.
L'uguaglianza MCD (a, b) = MCD (b, c) diventa valida.
Proprietà 4
L'espressione mcd(ma, mb) = m ⋅ mcd(a, b) è vera purché m sia un qualsiasi numero naturale.
Proprietà 5
Supponiamo che p sia un qualsiasi divisore comune di a e b.
Allora:
- mcd(a / p, b / p) = mcd(a, b) / p.
Se p = MCD(a, b), otteniamo:
- mcd (a / mcd (a, b), b / mcd (a, b)) = 1,
Pertanto, i numeri a / mcd (a, b) e b / mcd (a, b) sono coprimi.
Proprietà 6
Due numeri qualsiasi hanno almeno un divisore comune: questo è il numero 1.
La conoscenza dei fondamenti teorici del concetto MCD, così come le abilità pratiche nella sua definizione, sono necessarie per lavorare con le frazioni ordinarie. Inoltre, MCD è strettamente correlato a un'altra unità matematica: il minimo comune divisore. Entrambe le definizioni sono generalmente studiate come parte di un curriculum scolastico standard.
