სანამ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის (GCD) ცნების განმარტებაზე გადავიდეთ, აუცილებელია გავიგოთ, რა არის ზოგადად საერთო გამყოფი.
ცნობილია, რომ მთელ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს მრავალი გამყოფი. ჩვენ გვაინტერესებს მათზე რამდენიმე მთელი რიცხვის ერთდროული წვდომა. ჩვენ მიგვაჩნია, რომ რამდენიმე მთელი რიცხვის საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს გამყოფი თითოეული რიცხვისთვის მითითებული სერიიდან.
მაგალითად, 8 და 12 რიცხვებს აქვთ შემდეგი საერთო გამყოფები: 1 და 4. ამის გადამოწმება მარტივად შეიძლება მათემატიკური გამონათქვამების დაწერით: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
აღსანიშნავია, რომ თითოეულ რიცხვს თავდაპირველად აქვს მინიმუმ ორი საერთო გამყოფი: ნებისმიერი რიცხვი იყოფა თავისთავად ნაშთის გარეშე და ასევე იყოფა 1-ზე.
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის განსაზღვრა
ორი ნატურალური რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD) არის ყველაზე დიდი ნატურალური რიცხვებიდან, რომლითაც შეგვიძლია გავყოთ ჩვენი ორი რიცხვი. თუ ორი ნატურალური რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის მნიშვნელობა არის 1, მაშინ ამ რიცხვებს ჩვენ ვუწოდებთ თანაპრიმებს.
ორი a და b რიცხვისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც a და b შეიძლება დაიყოს ნაშთის გარეშე. ეს გამოთქმა იწერება შემდეგნაირად: gcd (a, b) = c.
GCD ჩაწერის სხვა გზა: (a, b) = c. თუმცა, უმეტეს შემთხვევაში, პირველი ვარიანტი გამოიყენება.
ასე, მაგალითად, 4 და 16 რიცხვებს აქვთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი 4-ის ტოლი. მოდით დავწეროთ: gcd (4, 16) = 4.
მოდით აღვწეროთ, როგორ მივედით ამ შედეგამდე:
- ჩაწერეთ 4 რიცხვის ყველა გამყოფი. მივიღეთ: 4, 2, 1.
- შემდეგ, ჩვენ დავხატეთ 16-ის ყველა გამყოფი. მივიღეთ: 16, 8, 4, 2, 1.
- ჩვენ ავირჩიეთ გამყოფები, რომლებიც საერთოა როგორც 4-ისთვის, ასევე 16-ისთვის. მივიღეთ: 4, 2, 1.
- მიღებული საერთო გამყოფებიდან აირჩიეს უდიდესი. ეს არის 4.
- ვიღებთ პასუხს: 4 და 16 რიცხვებისთვის GCD არის 4.
ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ GCD სამი ან მეტი მთელი რიცხვისთვის. ამ შემთხვევაში, ეს იქნება უდიდესი მთელი რიცხვი, რომლითაც შეგიძლიათ გაყოთ ყველა რიცხვი შემოთავაზებული სერიიდან.
ასე, მაგალითად, 6, 12, 18, 42 მთელი რიცხვების უდიდესი გამყოფი იქნება რიცხვი 6, ანუ gcd (6, 12, 18, 42) = 6. პასუხი მიღებულია ალგორითმის გამოყენებით. ზემოთ აღწერილის მსგავსად - სერიიდან რიცხვებისთვის, ყველა გამყოფი თანმიმდევრულად იწერებოდა, რის შემდეგაც შეირჩა მათგან ყველაზე დიდი.
GCD თვისებები
უდიდეს საერთო გამყოფს აქვს მთელი რიგი თვისებები, რომლებიც შესაბამისი იქნება ნულზე მეტი გამყოფებით დადებითი მთელი რიცხვების GCD-სთვის.
საკუთრება 1
ნომრების ადგილების შეცვლიდან, GCD-ის საბოლოო მნიშვნელობა არ შეიცვლება. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს განცხადება ასე:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
საკუთრება 2
თუ a იყოფა b-ზე, მაშინ a და b-ის საერთო გამყოფთა სიმრავლე იგივეა, რაც b-ის გამყოფთა სიმრავლე. დაწერილია ასე:
- gcd(a, b) = b.
დადასტურებული უდიდესი გამყოფის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორი რიცხვის gcd-ის საპოვნელად, როდესაც ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. ამ შემთხვევაში, GCD უდრის ერთ-ერთ ამ რიცხვს, რომელზედაც სხვა რიცხვი იყოფა.
მაგალითად:
- gcd(12, 4) = 4.
მსგავსი:
- gcd(10, 1) = 1.
საკუთრება 3
თუ a = bq + c, სადაც a, b, c და q მთელი რიცხვებია, მაშინ a და b საერთო გამყოფთა სიმრავლე იგივეა, რაც b და c საერთო გამყოფთა სიმრავლე.
ტოლობა gcd (a, b) = gcd (b, c) მოქმედებს.
საკუთრება 4
გამოთქმა gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) მართალია იმ პირობით, რომ m არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.
საკუთრება 5
ვთქვათ, p არის a და b-ის ნებისმიერი საერთო გამყოფი.
შემდეგ:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
თუ p = gcd(a, b), მივიღებთ:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
ამგვარად, რიცხვები a / gcd (a, b) და b / gcd (a, b) არის თანაპრომიტეტი.
საკუთრება 6
ნებისმიერ ორ რიცხვს აქვს მინიმუმ ერთი საერთო გამყოფი - ეს არის რიცხვი 1.
GCD კონცეფციის თეორიული საფუძვლების ცოდნა, ასევე მისი განმარტების პრაქტიკული უნარები აუცილებელია ჩვეულებრივ წილადებთან მუშაობისთვის. გარდა ამისა, GCD მჭიდროდ არის დაკავშირებული სხვა მათემატიკურ ერთეულთან - ყველაზე ნაკლებად საერთო გამყოფთან. ორივე განმარტება ჩვეულებრივ შესწავლილია, როგორც სტანდარტული სასკოლო სასწავლო გეგმის ნაწილი.
