Prieš pradedant apibrėžiant didžiausio bendro daliklio (GCD) sąvoką, būtina suprasti, kas apskritai yra bendras daliklis.
Yra žinoma, kad sveikasis skaičius gali turėti kelis daliklius. Mus domina galimybė vienu metu pasiekti juos keliais sveikaisiais skaičiais. Kelių sveikųjų skaičių bendruoju dalikliu laikome skaičių, kuris gali veikti kaip kiekvieno skaičiaus iš nurodytos serijos daliklis.
Pavyzdžiui, skaičiai 8 ir 12 turi šiuos bendrus daliklius: 1 ir 4. Tai galima lengvai patikrinti parašius matematines išraiškas: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Pažymėtina, kad kiekvienas skaičius iš pradžių turi bent du bendrus daliklius: bet kuris skaičius dalijasi iš savęs be liekanos, taip pat dalijasi iš 1.
Didžiausio bendro daliklio nustatymas
Dviejų natūraliųjų skaičių didžiausias bendras daliklis (GCD) yra didžiausias iš natūraliųjų skaičių, iš kurio galime padalyti du savo skaičius. Jei dviejų natūraliųjų skaičių didžiausio bendro daliklio reikšmė yra 1, tada šiuos skaičius vadiname koprime.
Dviejų skaičių a ir b didžiausias bendras daliklis yra skaičius, iš kurio a ir b gali būti padalyti be liekanos. Ši išraiška parašyta taip: gcd (a, b) = c.
Kitas būdas parašyti GCD: (a, b) = c. Tačiau daugeliu atvejų naudojama pirmoji parinktis.
Taigi, pavyzdžiui, skaičių 4 ir 16 didžiausias bendras daliklis lygus 4. Parašykime: gcd (4, 16) = 4.
Apibūdinkime, kaip pasiekėme šį rezultatą:
- Išrašėme visus skaičiaus 4 daliklius. Gavome: 4, 2, 1.
- Toliau nudažėme visus 16 daliklius. Gavome: 16, 8, 4, 2, 1.
- Pasirinkome daliklius, kurie yra bendri ir 4, ir 16. Gavome: 4, 2, 1.
- Iš gautų bendrųjų daliklių buvo pasirinktas didžiausias. Tai yra 4.
- Gavome atsakymą: skaičiams 4 ir 16 GCD yra 4.
Panašiai galite rasti trijų ar daugiau sveikųjų skaičių GCD. Šiuo atveju tai bus didžiausias sveikasis skaičius, iš kurio galėsite padalyti visus skaičius iš siūlomos serijos.
Taigi, pavyzdžiui, didžiausias sveikųjų skaičių 6, 12, 18, 42 daliklis bus skaičius 6, ty gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Atsakymas gautas naudojant algoritmą panašiai kaip aprašyta aukščiau – skaičiams iš serijos iš eilės buvo išrašomi visi dalikliai, po kurių buvo pasirenkamas didžiausias iš jų.
GCD ypatybės
Didžiausias bendras daliklis turi daugybę savybių, kurios bus svarbios teigiamų sveikųjų skaičių, kurių dalikliai yra didesni už nulį, GCD.
1 nuosavybė
Pakeitus skaičių vietas, galutinė GCD reikšmė nepasikeis. Šį teiginį galite parašyti taip:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
2 nuosavybė
Jei a dalijasi iš b, tai bendrųjų a ir b daliklių aibė yra tokia pati kaip b daliklių aibė. Parašyta taip:
- gcd(a, b) = b.
Įrodyta didžiausio daliklio savybė gali būti naudojama norint rasti dviejų skaičių gcd, kai vienas iš jų dalijasi iš kito. Šiuo atveju GCD yra lygus vienam iš šių skaičių, iš kurio dalijasi kitas skaičius.
Pavyzdžiui:
- gcd(12, 4) = 4.
Panašus:
- gcd(10, 1) = 1.
3 nuosavybė
Jei a = bq + c, kur a, b, c ir q yra sveikieji skaičiai, tada a ir b bendrųjų daliklių aibė yra tokia pati kaip bendrųjų b ir c daliklių aibė.
Lygybė gcd (a, b) = gcd (b, c) įsigalioja.
4 nuosavybė
Išraiška gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) yra teisinga, jei m yra bet koks natūralusis skaičius.
5 nuosavybė
Tarkime, p yra bet koks bendras a ir b daliklis.
Tada:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Jei p = gcd(a, b), gauname:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Taigi, skaičiai a / gcd (a, b) ir b / gcd (a, b) yra pirminiai.
6 nuosavybė
Bet kurie du skaičiai turi bent vieną bendrą daliklį – tai skaičius 1.
Norint dirbti su paprastosiomis trupmenomis, būtinos GCD koncepcijos teorinių pagrindų išmanymas, taip pat praktiniai jos apibrėžimo įgūdžiai. Be to, GCD yra glaudžiai susijęs su kitu matematiniu vienetu – rečiausiai paplitusiu dalikliu. Abu apibrėžimai paprastai nagrinėjami kaip standartinės mokyklos mokymo programos dalis.
