Pirms turpināt definēt lielākā kopīgā dalītāja (GCD) jēdzienu, ir jāsaprot, kas vispār ir kopējais dalītājs.
Ir zināms, ka veselam skaitlim var būt vairāki dalītāji. Mūs interesē vienlaicīga piekļuve tiem ar vairākiem veseliem skaitļiem. Mēs uzskatām, ka vairāku veselu skaitļu kopējais dalītājs ir skaitlis, kas var darboties kā dalītājs katram skaitlim no norādītās sērijas.
Piemēram, skaitļiem 8 un 12 ir šādi kopīgi dalītāji: 1 un 4. To var viegli pārbaudīt, rakstot matemātiskas izteiksmes: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Jāatzīmē, ka katram skaitlim sākotnēji ir vismaz divi kopīgi dalītāji: jebkurš skaitlis dalās ar sevi bez atlikuma, kā arī dalās ar 1.
Lielākā kopīgā dalītāja noteikšana
Divu naturālu skaitļu lielākais kopējais dalītājs (GCD) ir lielākais no naturālajiem skaitļiem, ar kuru mēs varam dalīt divus mūsu skaitļus. Ja divu naturālu skaitļu lielākā kopīgā dalītāja vērtība ir 1, tad mēs šos skaitļus saucam par koprime.
Diviem skaitļiem a un b lielākais kopīgais dalītājs ir skaitlis, ar kuru a un b var dalīt bez atlikuma. Šo izteiksmi raksta šādi: gcd (a, b) = c.
Cits veids, kā rakstīt GCD: (a, b) = c. Tomēr vairumā gadījumu tiek izmantota pirmā opcija.
Tātad, piemēram, skaitļiem 4 un 16 ir lielākais kopīgais dalītājs, kas vienāds ar 4. Rakstīsim: gcd (4, 16) = 4.
Aprakstīsim, kā mēs nonācām pie šī rezultāta:
- Mēs izrakstījām visus skaitļa 4 dalītājus. Mēs saņēmām: 4, 2, 1.
- Pēc tam mēs nokrāsojām visus 16 dalītājus. Mēs saņēmām: 16, 8, 4, 2, 1.
- Mēs izvēlējāmies dalītājus, kas ir kopīgi gan 4, gan 16. Mēs saņēmām: 4, 2, 1.
- No iegūtajiem kopīgajiem dalītājiem tika izvēlēts lielākais. Šis ir 4.
- Mēs saņemam atbildi: skaitļiem 4 un 16 GCD ir 4.
Līdzīgi varat atrast GCD trīs vai vairāk veseliem skaitļiem. Šajā gadījumā tas būs lielākais veselais skaitlis, ar kuru varat dalīt visus piedāvātās sērijas skaitļus.
Tātad, piemēram, lielākais dalītājs veseliem skaitļiem 6, 12, 18, 42 būs skaitlis 6, tas ir, gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Atbilde tika iegūta, izmantojot algoritmu. līdzīgi kā aprakstīts iepriekš - skaitļiem no sērijas secīgi tika izrakstīti visi dalītāji, pēc kuriem tika atlasīts lielākais no tiem.
GCD rekvizīti
Lielākajam kopējam dalītājam ir vairākas īpašības, kas būs svarīgas pozitīvu veselu skaitļu GCD, kuru dalītāji ir lielāki par nulli.
1. īpašums
Mainot skaitļu vietas, GCD galīgā vērtība nemainīsies. Šo paziņojumu varat uzrakstīt šādi:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
2. īpašums
Ja a dalās ar b, tad a un b kopīgo dalītāju kopa ir tāda pati kā b dalītāju kopa. Uzrakstīts šādi:
- gcd(a, b) = b.
Pierādīto lielāko dalītāju var izmantot, lai atrastu divu skaitļu gcd, ja viens no tiem dalās ar otru. Šajā gadījumā GCD ir vienāds ar vienu no šiem skaitļiem, ar kuru dalās cits skaitlis.
Piemērs:
- gcd(12, 4) = 4.
Līdzīgi:
- gcd(10, 1) = 1.
3. īpašums
Ja a = bq + c, kur a, b, c un q ir veseli skaitļi, tad a un b kopīgo dalītāju kopa ir tāda pati kā b un c kopīgo dalītāju kopa.
Spēkā stājas vienādība gcd (a, b) = gcd (b, c).
4. īpašums
Izteiksme gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) ir patiesa, ja m ir jebkurš naturāls skaitlis.
5. īpašums
Pieņemsim, ka p ir jebkurš a un b kopīgs dalītājs.
Pēc tam:
- gcd(a/p, b/p) = gcd(a, b)/p.
Ja p = gcd(a, b), mēs iegūstam:
- gcd (a/gcd (a, b), b/gcd (a, b)) = 1,
Tādējādi skaitļi a / gcd (a, b) un b / gcd (a, b) ir koprime.
6. īpašums
Jebkuriem diviem skaitļiem ir vismaz viens kopīgs dalītājs — tas ir skaitlis 1.
Lai strādātu ar parastajām daļām, ir nepieciešamas zināšanas par GCD koncepcijas teorētiskajiem pamatiem, kā arī praktiskās iemaņas tās definēšanā. Turklāt GCD ir cieši saistīts ar citu matemātisko vienību - vismazāk izplatīto dalītāju. Abas definīcijas parasti tiek pētītas kā daļa no standarta skolas mācību programmas.
