Kalkulator GCF

Alat lain

Kalkulator kawasan{$ ',' | translate $}
Kalkulator perimeter{$ ',' | translate $}
Kalkulator isi padu{$ ',' | translate $}
Jadual pendaraban{$ ',' | translate $}
Jadual berkala{$ ',' | translate $}
Kalkulator matriks{$ ',' | translate $}
Kalkulator LCM{$ ',' | translate $}
Kalkulator trigonometri{$ ',' | translate $}

Kalkulator faktor sepunya terhebat

Sebelum meneruskan takrifan konsep pembahagi sepunya terbesar (GCD), adalah perlu untuk memahami maksud pembahagi sepunya secara umum.

Adalah diketahui bahawa integer boleh mempunyai berbilang pembahagi. Kami berminat dengan akses serentak kepada mereka oleh beberapa integer. Kami menganggap pembahagi sepunya beberapa integer sebagai nombor yang boleh bertindak sebagai pembahagi bagi setiap nombor daripada siri yang ditentukan.

Sebagai contoh, nombor 8 dan 12 mempunyai pembahagi sepunya berikut: 1 dan 4. Ini boleh disahkan dengan mudah dengan menulis ungkapan matematik: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Perlu diambil perhatian bahawa setiap nombor pada mulanya mempunyai sekurang-kurangnya dua pembahagi sepunya: sebarang nombor boleh dibahagi dengan sendirinya tanpa baki, dan juga boleh dibahagi dengan 1.

Menentukan Pembahagi Sepunya Terhebat

Pembahagi Sepunya Terhebat (GCD) bagi dua nombor asli ialah nombor asli terbesar yang dengannya kita boleh membahagi dua nombor kita. Jika nilai pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor asli ialah 1, maka kita panggil nombor ini koprime.

Untuk dua nombor a dan b, pembahagi sepunya terbesar ialah nombor yang a dan b boleh dibahagikan tanpa baki. Ungkapan ini ditulis seperti berikut: gcd (a, b) = c.

Cara lain untuk menulis GCD: (a, b) = c. Walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes, pilihan pertama digunakan.

Jadi, sebagai contoh, nombor 4 dan 16 mempunyai pembahagi sepunya terbesar bersamaan dengan 4. Mari kita tulis: gcd (4, 16) = 4.

Mari kita terangkan bagaimana kita mencapai hasil ini:

Kami menulis semua pembahagi nombor 4. Kami mendapat: 4, 2, 1.
Seterusnya, kami melukis semua pembahagi 16. Kami mendapat: 16, 8, 4, 2, 1.
Kami memilih pembahagi yang biasa untuk 4 dan 16. Kami mendapat: 4, 2, 1.
Daripada pembahagi biasa yang terhasil, pembahagi terbesar telah dipilih. Ini ialah 4.
Kami mendapat jawapannya: untuk nombor 4 dan 16 GCD ialah 4.

Begitu juga, anda boleh mencari GCD untuk tiga atau lebih integer. Dalam kes ini, ia akan menjadi integer terbesar yang membolehkan anda membahagikan semua nombor daripada siri yang dicadangkan.

Jadi, sebagai contoh, pembahagi terbesar untuk integer 6, 12, 18, 42 akan menjadi nombor 6, iaitu, gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Jawapannya diperoleh menggunakan algoritma serupa dengan yang diterangkan di atas - untuk nombor daripada siri, semua pembahagi ditulis secara berurutan, selepas itu pembahagi terbesar dipilih.

Sifat GCD

Pembahagi sepunya terbesar mempunyai beberapa sifat yang akan relevan untuk GCD integer positif dengan pembahagi lebih besar daripada sifar.

Hartanah 1

Daripada menukar tempat nombor, nilai akhir GCD tidak akan berubah. Anda boleh menulis pernyataan ini seperti ini:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Hartanah 2

Jika a boleh dibahagi dengan b, maka set pembahagi sepunya a dan b adalah sama dengan set pembahagi b. Ditulis seperti ini:

gcd(a, b) = b.

Sifat pembahagi terbesar yang terbukti boleh digunakan untuk mencari gcd bagi dua nombor apabila satu daripadanya boleh dibahagi dengan yang lain. Dalam kes ini, GCD adalah sama dengan salah satu nombor ini, yang mana nombor lain boleh dibahagikan.

Contohnya:

gcd(12, 4) = 4.

Serupa:

gcd(10, 1) = 1.

Hartanah 3

Jika a = bq + c, dengan a, b, c dan q ialah integer, maka set pembahagi sepunya a dan b adalah sama dengan set pembahagi sepunya b dan c.

Kesamaan gcd (a, b) = gcd (b, c) menjadi sah.

Hartanah 4

Ungkapan gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) adalah benar dengan syarat m ialah sebarang nombor asli.

Hartanah 5

Katakan p ialah sebarang pembahagi sepunya a dan b.

Kemudian:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

Jika p = gcd(a, b), kita dapat:

gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

Oleh itu, nombor a / gcd (a, b) dan b / gcd (a, b) adalah koprima.

Hartanah 6

Mana-mana dua nombor mempunyai sekurang-kurangnya satu pembahagi sepunya - ini ialah nombor 1.

Pengetahuan tentang asas teori konsep GCD, serta kemahiran praktikal dalam definisinya, diperlukan untuk berfungsi dengan pecahan biasa. Selain itu, GCD berkait rapat dengan unit matematik lain - pembahagi paling tidak sepunya. Kedua-dua takrifan biasanya dikaji sebagai sebahagian daripada kurikulum standard sekolah.

Bagaimana untuk mencari faktor sepunya terbesar

Mencari pembahagi sepunya terbesar (gcd) ialah tugas yang agak popular. Tindakan ini membantu kami menjalankan pengiraan di mana pecahan biasa muncul.

Kaedah untuk mencari GCD

Terdapat beberapa helah untuk mencari pembahagi sepunya yang paling hebat. Kami akan mempertimbangkan yang paling popular.

Mencari GCD dengan penguraian nombor menjadi faktor perdana

Kaedah ini adalah salah satu kaedah yang paling kerap digunakan dalam menyelesaikan masalah matematik.

Algoritma untuk menentukan GCD dengan penguraian kepada faktor utama terdiri daripada langkah berikut:

Kami mewakili nombor sebagai faktor perdana. Contohnya, nombor 20 boleh diwakili sebagai hasil darab 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Pilih faktor yang akan hadir dalam kedua-dua pengembangan.
Cari hasil darab faktor ini.

Mari kita pertimbangkan beberapa contoh aplikasi algoritma ini dalam amalan:

Tentukan GCD nombor 12 dan 8.

Uraikan 12 dan 8 kepada faktor perdana:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Kami melihat faktor yang terdapat dalam kedua-dua pengembangan. Cari: 2 dan 2.

Kami mendarabkan faktor dan mendapat:

2 ⋅ 2 = 4.

Jawapan: gcd (12, 8) = 4.

Tentukan GCD bagi nombor 75 dan 150.

Jujukan penyelesaian adalah serupa dengan contoh sebelumnya.

Mari kita wakili 75 dan 150 sebagai faktor perdana:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Tentukan faktor yang diulang dalam kedua-dua pengembangan: 3, 5 dan 5.

Kami mendarabkan nombor yang terhasil bersama: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Jawapan: gcd (75, 150) = 75.

Tentukan GCD bagi nombor 9 dan 5.

Contoh ini menggunakan nombor perdana yang penggandanya hanya boleh 1.

Apabila memfaktorkan 9 dan 5 ke dalam faktor perdana, kita akan melihat bahawa faktor tersebut tidak mempunyai faktor yang sama:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Perlu diingat bahawa kes ini adalah istimewa. Nombor sedemikian ialah koprima, dan pembahagi sepunyanya ialah satu.

Algoritma Euclid

Algoritma ini dinamakan sempena ahli matematik Yunani purba Euclid, yang pertama kali menerangkannya dalam tulisannya (buku ke-7 dan ke-10 "Permulaan"). Adalah diketahui bahawa Euclid bukanlah pengarang algoritma ini. Namun begitu, ia dianggap sebagai salah satu algoritma tertua yang digunakan hari ini.

Algoritma Euclid memudahkan untuk mengira pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor positif.

Untuk mencari GCD (a, b), algoritma ini kelihatan seperti ini:

Jika a = 0 maka gcd(a, b) = b kerana gcd(0, b) = b dan algoritma berhenti.
Jika b = 0 maka gcd(a, b) = a kerana gcd(a, 0) = a dan algoritma berhenti.
Bahagikan a dengan b dengan baki (a = b ⋅ q + r)
Cari gcd(b, r) menggunakan algoritma Euclid kerana gcd(a, b) = gcd(b, r).

Untuk mengesahkan keberkesanan kaedah dalam amalan, pertimbangkan satu contoh.

Adalah perlu untuk menentukan GCD bagi nombor 270 dan 192.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Bahagikan a dengan b, kita dapat:

270 / 192 = 1 (bakinya ialah 78).

Anda boleh menulis hasilnya sebagai: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Seterusnya, kami akan mengira gcd (192, 78), kerana gcd (270, 192) = gcd (192, 78).

Mari teruskan.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Bahagikan a dengan b, kita dapat:

192 / 78 = 2 (bakinya ialah 36).

Boleh ditulis sebagai:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

Kira gcd(78, 36) sejak gcd(192, 78) = gcd(78, 36).

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Bahagikan a dengan b, kita dapat:

78 / 36 = 2 (bakinya ialah 0).

Mari kita tulis hasilnya sebagai:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Kira gcd(36, 6) sejak gcd(78, 36) = gcd(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Bahagikan A dengan B, kita dapat 36 / 6 = 6 (bakinya ialah 0).

Tulis keputusan dalam bentuk berikut:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Seterusnya kita dapati gcd(6, 0) kerana gcd(36, 6) = gcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Akibatnya kami mempunyai:

gcd(6, 0) = 6.

Oleh itu, kami mempunyai urutan pengiraan berikut:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

Akibatnya, kami mempunyai jawapan:

gcd(270, 192) = 6.

Setiap kaedah carian yang dibincangkan di atas mempunyai kelebihan dan kekurangannya. Kaedah pertama bagus untuk bekerja dengan contoh yang agak mudah, tidak seperti yang kedua, yang boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah matematik yang lebih kompleks.