Sebelum meneruskan takrifan konsep pembahagi sepunya terbesar (GCD), adalah perlu untuk memahami maksud pembahagi sepunya secara umum.
Adalah diketahui bahawa integer boleh mempunyai berbilang pembahagi. Kami berminat dengan akses serentak kepada mereka oleh beberapa integer. Kami menganggap pembahagi sepunya beberapa integer sebagai nombor yang boleh bertindak sebagai pembahagi bagi setiap nombor daripada siri yang ditentukan.
Sebagai contoh, nombor 8 dan 12 mempunyai pembahagi sepunya berikut: 1 dan 4. Ini boleh disahkan dengan mudah dengan menulis ungkapan matematik: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Perlu diambil perhatian bahawa setiap nombor pada mulanya mempunyai sekurang-kurangnya dua pembahagi sepunya: sebarang nombor boleh dibahagi dengan sendirinya tanpa baki, dan juga boleh dibahagi dengan 1.
Menentukan Pembahagi Sepunya Terhebat
Pembahagi Sepunya Terhebat (GCD) bagi dua nombor asli ialah nombor asli terbesar yang dengannya kita boleh membahagi dua nombor kita. Jika nilai pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor asli ialah 1, maka kita panggil nombor ini koprime.
Untuk dua nombor a dan b, pembahagi sepunya terbesar ialah nombor yang a dan b boleh dibahagikan tanpa baki. Ungkapan ini ditulis seperti berikut: gcd (a, b) = c.
Cara lain untuk menulis GCD: (a, b) = c. Walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes, pilihan pertama digunakan.
Jadi, sebagai contoh, nombor 4 dan 16 mempunyai pembahagi sepunya terbesar bersamaan dengan 4. Mari kita tulis: gcd (4, 16) = 4.
Mari kita terangkan bagaimana kita mencapai hasil ini:
- Kami menulis semua pembahagi nombor 4. Kami mendapat: 4, 2, 1.
- Seterusnya, kami melukis semua pembahagi 16. Kami mendapat: 16, 8, 4, 2, 1.
- Kami memilih pembahagi yang biasa untuk 4 dan 16. Kami mendapat: 4, 2, 1.
- Daripada pembahagi biasa yang terhasil, pembahagi terbesar telah dipilih. Ini ialah 4.
- Kami mendapat jawapannya: untuk nombor 4 dan 16 GCD ialah 4.
Begitu juga, anda boleh mencari GCD untuk tiga atau lebih integer. Dalam kes ini, ia akan menjadi integer terbesar yang membolehkan anda membahagikan semua nombor daripada siri yang dicadangkan.
Jadi, sebagai contoh, pembahagi terbesar untuk integer 6, 12, 18, 42 akan menjadi nombor 6, iaitu, gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Jawapannya diperoleh menggunakan algoritma serupa dengan yang diterangkan di atas - untuk nombor daripada siri, semua pembahagi ditulis secara berurutan, selepas itu pembahagi terbesar dipilih.
Sifat GCD
Pembahagi sepunya terbesar mempunyai beberapa sifat yang akan relevan untuk GCD integer positif dengan pembahagi lebih besar daripada sifar.
Hartanah 1
Daripada menukar tempat nombor, nilai akhir GCD tidak akan berubah. Anda boleh menulis pernyataan ini seperti ini:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Hartanah 2
Jika a boleh dibahagi dengan b, maka set pembahagi sepunya a dan b adalah sama dengan set pembahagi b. Ditulis seperti ini:
- gcd(a, b) = b.
Sifat pembahagi terbesar yang terbukti boleh digunakan untuk mencari gcd bagi dua nombor apabila satu daripadanya boleh dibahagi dengan yang lain. Dalam kes ini, GCD adalah sama dengan salah satu nombor ini, yang mana nombor lain boleh dibahagikan.
Contohnya:
- gcd(12, 4) = 4.
Serupa:
- gcd(10, 1) = 1.
Hartanah 3
Jika a = bq + c, dengan a, b, c dan q ialah integer, maka set pembahagi sepunya a dan b adalah sama dengan set pembahagi sepunya b dan c.
Kesamaan gcd (a, b) = gcd (b, c) menjadi sah.
Hartanah 4
Ungkapan gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) adalah benar dengan syarat m ialah sebarang nombor asli.
Hartanah 5
Katakan p ialah sebarang pembahagi sepunya a dan b.
Kemudian:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Jika p = gcd(a, b), kita dapat:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Oleh itu, nombor a / gcd (a, b) dan b / gcd (a, b) adalah koprima.
Hartanah 6
Mana-mana dua nombor mempunyai sekurang-kurangnya satu pembahagi sepunya - ini ialah nombor 1.
Pengetahuan tentang asas teori konsep GCD, serta kemahiran praktikal dalam definisinya, diperlukan untuk berfungsi dengan pecahan biasa. Selain itu, GCD berkait rapat dengan unit matematik lain - pembahagi paling tidak sepunya. Kedua-dua takrifan biasanya dikaji sebagai sebahagian daripada kurikulum standard sekolah.
