Alvorens verder te gaan met de definitie van het concept van de grootste gemene deler (GCD), is het noodzakelijk om te begrijpen wat een gemene deler in het algemeen is.
Het is bekend dat een geheel getal meerdere delers kan hebben. We zijn geïnteresseerd in de gelijktijdige toegang tot hen door verschillende gehele getallen. We beschouwen de gemene deler van meerdere gehele getallen als het getal dat als deler kan fungeren voor elk getal uit de opgegeven reeks.
De getallen 8 en 12 hebben bijvoorbeeld de volgende gemene delers: 1 en 4. Dit kan eenvoudig worden geverifieerd door wiskundige uitdrukkingen te schrijven: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Opgemerkt moet worden dat elk getal in eerste instantie ten minste twee gemene delers heeft: elk getal is deelbaar door zichzelf zonder een rest, en is ook deelbaar door 1.
De grootste gemene deler bepalen
De Grootste Gemene Deler (GCD) van twee natuurlijke getallen is de grootste van de natuurlijke getallen waardoor we twee van onze getallen kunnen delen. Als de waarde van de grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen 1 is, dan noemen we deze getallen coprime.
Voor twee getallen a en b is de grootste gemene deler het getal waardoor a en b zonder rest kunnen worden gedeeld. Deze uitdrukking wordt als volgt geschreven: ggd (a, b) = c.
Een andere manier om GCD te schrijven: (a, b) = c. In de meeste gevallen wordt echter de eerste optie gebruikt.
Dus de getallen 4 en 16 hebben bijvoorbeeld de grootste gemene deler gelijk aan 4. Laten we schrijven: ggd (4, 16) = 4.
Laten we beschrijven hoe we tot dit resultaat zijn gekomen:
- We schreven alle delers van het getal 4 uit. We kregen: 4, 2, 1.
- Vervolgens schilderden we alle delers van 16. We kregen: 16, 8, 4, 2, 1.
- We hebben delers gekozen die gemeenschappelijk zijn voor zowel 4 als 16. We hebben: 4, 2, 1.
- Van de resulterende gemene delers werd de grootste gekozen. Dit is 4.
- We krijgen het antwoord: voor de nummers 4 en 16 is GCD 4.
Op dezelfde manier kunt u de GCD vinden voor drie of meer gehele getallen. In dit geval is het het grootste gehele getal waardoor u alle getallen uit de voorgestelde reeks kunt delen.
De grootste deler voor de gehele getallen 6, 12, 18, 42 is dus bijvoorbeeld het getal 6, dat wil zeggen ggd (6, 12, 18, 42) = 6. Het antwoord is verkregen met behulp van een algoritme vergelijkbaar met wat hierboven is beschreven - voor getallen uit een reeks werden alle delers opeenvolgend uitgeschreven, waarna de grootste werden geselecteerd.
GCD-eigenschappen
De grootste gemene deler heeft een aantal eigenschappen die relevant zijn voor GCD van positieve gehele getallen met delers groter dan nul.
Eigenschap 1
Door het wijzigen van de plaats van getallen verandert de uiteindelijke waarde van de GCD niet. U kunt deze verklaring als volgt schrijven:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Eigenschap 2
Als a deelbaar is door b, dan is de verzameling gemene delers van a en b gelijk aan de verzameling delers van b. Zo geschreven:
- ggd(a, b) = b.
De bewezen eigenschap van de grootste deler kan worden gebruikt om de gcd van twee getallen te vinden wanneer het ene getal deelbaar is door het andere. In dit geval is de GCD gelijk aan een van deze getallen, waardoor een ander getal deelbaar is.
Bijvoorbeeld:
- ggd(12, 4) = 4.
Vergelijkbaar:
- ggd(10, 1) = 1.
Eigenschap 3
Als a = bq + c, waarbij a, b, c en q gehele getallen zijn, dan is de verzameling gemene delers van a en b gelijk aan de verzameling gemene delers van b en c.
De gelijkheid ggd (a, b) = ggd (b, c) wordt geldig.
Eigenschap 4
De uitdrukking ggd(ma, mb) = m ⋅ ggd(a, b) is waar op voorwaarde dat m een willekeurig natuurlijk getal is.
Eigenschap 5
Stel dat p een willekeurige gemene deler is van a en b.
Toen:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Als p = ggd(a, b), krijgen we:
- ggd (a / ggd (a, b), b / ggd (a, b)) = 1,
De getallen a / ggd (a, b) en b / ggd (a, b) zijn dus coprime.
Eigenschap 6
Twee willekeurige getallen hebben minstens één gemene deler - dit is het getal 1.
Kennis van de theoretische grondslagen van het GCD-concept, evenals praktische vaardigheden in de definitie ervan, zijn noodzakelijk om met gewone breuken te werken. Bovendien is GCD nauw verwant aan een andere wiskundige eenheid - de kleinste gemene deler. Beide definities worden meestal bestudeerd als onderdeel van een standaard schoolcurriculum.
