Før du går videre til definisjonen av begrepet den største felles divisor (GCD), er det nødvendig å forstå hva en felles divisor er generelt.
Det er kjent at et heltall kan ha flere divisorer. Vi er interessert i samtidig tilgang til dem med flere heltall. Vi anser felles divisor for flere heltall som tallet som kan fungere som divisor for hvert tall fra den angitte serien.
For eksempel har tallene 8 og 12 følgende felles divisorer: 1 og 4. Dette kan enkelt verifiseres ved å skrive matematiske uttrykk: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Det bør bemerkes at hvert tall i utgangspunktet har minst to felles divisorer: ethvert tall er delelig med seg selv uten en rest, og er også delelig med 1.
Bestemme den største felles deleren
Den største felles deleren (GCD) av to naturlige tall er den største av de naturlige tallene som vi kan dele to av tallene våre med. Hvis verdien av den største felles divisor av to naturlige tall er 1, kaller vi disse tallene coprime.
For to tall a og b er den største felles divisor tallet som a og b kan deles med uten en rest. Dette uttrykket er skrevet som følger: gcd (a, b) = c.
En annen måte å skrive GCD på: (a, b) = c. Men i de fleste tilfeller brukes det første alternativet.
Så, for eksempel, tallene 4 og 16 har den største felles divisor lik 4. La oss skrive: gcd (4, 16) = 4.
La oss beskrive hvordan vi kom til dette resultatet:
- Vi skrev ut alle divisorene for tallet 4. Vi fikk: 4, 2, 1.
- Deretter malte vi alle divisorene til 16. Vi fikk: 16, 8, 4, 2, 1.
- Vi valgte divisorer som er felles for både 4 og 16. Vi fikk: 4, 2, 1.
- Blant de resulterende felles divisorene ble den største valgt. Dette er 4.
- Vi får svaret: for tallene 4 og 16 er GCD 4.
På samme måte kan du finne GCD for tre eller flere heltall. I dette tilfellet vil det være det største heltallet som du kan dele alle tallene fra den foreslåtte serien med.
Så for eksempel vil den største divisoren for heltallene 6, 12, 18, 42 være tallet 6, det vil si gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Svaret ble oppnådd ved hjelp av en algoritme lik det som ble beskrevet ovenfor - for tall fra en serie ble alle divisorer skrevet ut sekvensielt, hvoretter de største av dem ble valgt.
GCD-egenskaper
Den største felles divisor har en rekke egenskaper som vil være relevante for GCD av positive heltall med divisorer større enn null.
Eiendom 1
Fra skiftende plassering av tall, endres ikke den endelige verdien av GCD. Du kan skrive denne uttalelsen slik:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Eiendom 2
Hvis a er delelig med b, er settet med felles divisorer til a og b det samme som settet med divisorer til b. Skrevet slik:
- gcd(a, b) = b.
Den påviste største divisor-egenskapen kan brukes til å finne gcd for to tall når ett av dem er delelig med det andre. I dette tilfellet er GCD lik ett av disse tallene, som et annet tall er delelig med.
For eksempel:
- gcd(12, 4) = 4.
Lignende:
- gcd(10, 1) = 1.
Eiendom 3
Hvis a = bq + c, hvor a, b, c og q er heltall, så er settet med felles divisorer for a og b det samme som settet med felles divisorer for b og c.
Likheten gcd (a, b) = gcd (b, c) blir gyldig.
Eiendom 4
Uttrykket gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) er sant forutsatt at m er et hvilket som helst naturlig tall.
Eiendom 5
La oss si at p er en felles deler av a og b.
Deretter:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Hvis p = gcd(a, b), får vi:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Derfor er tallene a / gcd (a, b) og b / gcd (a, b) coprime.
Eiendom 6
Alle to tall har minst én felles divisor - dette er tallet 1.
Kunnskap om det teoretiske grunnlaget for GCD-konseptet, samt praktiske ferdigheter i definisjonen, er nødvendig for å arbeide med vanlige brøker. I tillegg er GCD nært knyttet til en annen matematisk enhet - den minst vanlige divisor. Begge definisjonene studeres vanligvis som en del av en standard skoleplan.
