Прежде, чем перейти к определению понятия наибольший общий делитель (НОД), необходимо разобраться, что же такое общий делитель в целом.
Известно, что целое число может иметь несколько делителей. Нас интересует одновременное обращение к ним нескольких целых чисел. Общим делителем нескольких целых чисел мы считаем то число, которое может выступать в качестве делителя для каждого числа из указанного ряда.
К примеру, числа 8 и 12 имеют следующие общие делители: 1 и 4. Это легко проверить, записав математические выражения: 8 = 4 × 2; 12 = 3 × 4.
Следует отметить, что каждое число изначально имеет, как минимум, два общих делителя: любое число делится без остатка на себя, а также делится на 1.
Определение наибольшего общего делителя
Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел — это наибольшее из натуральных чисел, на которое мы можем поделить нацело два наших числа. Если значение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел равно 1, то данные числа мы называем взаимно простыми.
Допустим, для двух чисел a и b наибольший общий делитель — это число, на которое a и b можно разделить без остатка. Запись данного выражения осуществляется следующим образом: НОД (a, b) = c.
Другой вариант записи НОД: (a, b) = c. Однако, в большинстве случаев используют первый вариант.
Так, например, числа 4 и 16 имеют наибольший общий делитель, равный 4. Запишем: НОД (4, 16) = 4.
Распишем, как мы пришли к данному результату:
- Выписали все делители числа 4. Получили: 4, 2, 1.
- Далее расписали все делители 16. Получили: 16, 8, 4, 2, 1.
- Выбрали делители, которые являются общими и для 4, и для 16. Получили: 4, 2, 1.
- Из полученных общих делителей выбрали наибольший. Это 4.
- Получаем ответ: для чисел 4 и 16 НОД равен 4.
Подобным образом можно отыскать НОД для трёх и более целых чисел. В данном случае им будет наибольшее целое число, на которое вы сможете разделить все числа из предложенного ряда.
Так, например, наибольшим делителем для целых чисел 6, 12, 18, 42 будет число 6, то есть НОД (6, 12, 18, 42) = 6. Ответ был получен с помощью алгоритма, аналогичного тому, что был описан выше — для чисел из ряда последовательно выписывались все делители, после чего выбирались самые большие из них.
Свойства НОД
Наибольший общий делитель обладает рядом свойств, которые будут актуальными для НОД положительных целых чисел с делителями, превышающими нулевое значение.
Свойство 1
От перемены мест чисел, итоговое значение НОД не изменится. Записать данное утверждение можно так:
- НОД (a, b) = НОД (b, a).
Свойство 2
Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b. Записывается так:
- НОД (a, b) = b.
Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.
Например:
- НОД (12, 4) = 4.
Аналогично:
- НОД (10, 1) = 1.
Свойство 3
Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с.
Становится справедливым равенство НОД (a, b) = НОД (b, c).
Свойство 4
Выражение НОД (mа, mb) = m × НОД (а, b) является верным при условии, что m — любое натуральное число.
Свойство 5
Допустим, р — любой общий делитель чисел а и b.
Тогда:
- НОД (а / p, b / p) = НОД (а, b) / p.
Если p = НОД (a, b), получим:
- НОД (a / НОД (a, b), b / НОД (a, b)) = 1,
Таким образом, числа a / НОД (a, b) и b / НОД (a, b) являются взаимно простыми.
Свойство 6
Любые два числа имеют хотя бы один общий делитель — это число 1.
Знание теоретических основ понятия НОД, а также практические навыки его определения необходимы для того, чтобы работать с обыкновенными дробями. Кроме того, НОД тесно связан с другой математической единицей — наименьшим общим делителем. Оба определения, как правило, изучаются в рамках стандартного школьного курса обучения.
