Predtým, ako pristúpime k definícii pojmu najväčší spoločný deliteľ (GCD), je potrebné pochopiť, čo je to vo všeobecnosti spoločný deliteľ.
Je známe, že celé číslo môže mať viacero deliteľov. Zaujíma nás súčasný prístup k nim niekoľkými celými číslami. Spoločného deliteľa niekoľkých celých čísel považujeme za číslo, ktoré môže fungovať ako deliteľ každého čísla zo zadaného radu.
Napríklad čísla 8 a 12 majú týchto spoločných deliteľov: 1 a 4. Dá sa to ľahko overiť napísaním matematických výrazov: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Treba si uvedomiť, že každé číslo má na začiatku aspoň dvoch spoločných deliteľov: každé číslo je deliteľné samo o sebe bez zvyšku a je tiež deliteľné 1.
Určenie najväčšieho spoločného deliteľa
Najväčší spoločný deliteľ (GCD) dvoch prirodzených čísel je najväčšie z prirodzených čísel, ktorými môžeme rozdeliť dve naše čísla. Ak je hodnota najväčšieho spoločného deliteľa dvoch prirodzených čísel 1, potom tieto čísla nazývame coprime.
Pre dve čísla aab je najväčším spoločným deliteľom číslo, ktorým možno bezo zvyšku deliť aab. Tento výraz je napísaný takto: gcd (a, b) = c.
Ďalší spôsob zápisu GCD: (a, b) = c. Vo väčšine prípadov sa však používa prvá možnosť.
Takže napríklad čísla 4 a 16 majú najväčšieho spoločného deliteľa rovného 4. Napíšme: gcd (4, 16) = 4.
Poďme popísať, ako sme dospeli k tomuto výsledku:
- Vypísali sme všetkých deliteľov čísla 4. Dostali sme: 4, 2, 1.
- Ďalej sme vymaľovali všetkých deliteľov 16. Dostali sme: 16, 8, 4, 2, 1.
- Vybrali sme delitele, ktoré sú spoločné pre 4 aj 16. Získali sme: 4, 2, 1.
- Z výsledných spoločných deliteľov bol vybraný najväčší. Toto je 4.
- Dostávame odpoveď: pre čísla 4 a 16 je GCD 4.
Podobne môžete nájsť GCD pre tri alebo viac celých čísel. V tomto prípade to bude najväčšie celé číslo, ktorým môžete deliť všetky čísla z navrhovaného radu.
Takže napríklad najväčší deliteľ pre celé čísla 6, 12, 18, 42 bude číslo 6, teda gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Odpoveď bola získaná pomocou algoritmu podobné tomu, čo bolo popísané vyššie – pre čísla z radu boli postupne vypísané všetky deliče a potom boli vybratí najväčší z nich.
Vlastnosti GCD
Najväčší spoločný deliteľ má množstvo vlastností, ktoré budú relevantné pre GCD kladných celých čísel s deliteľmi väčšími ako nula.
Vlastníctvo 1
Zmenou miesta čísel sa konečná hodnota GCD nezmení. Toto vyhlásenie môžete napísať takto:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Vlastníctvo 2
Ak a je deliteľné b, potom množina spoločných deliteľov aab je rovnaká ako množina deliteľov b. Napísané takto:
- gcd(a, b) = b.
Overenú vlastnosť najväčšieho deliteľa možno použiť na nájdenie gcd dvoch čísel, keď je jedno z nich deliteľné druhým. V tomto prípade sa GCD rovná jednému z týchto čísel, ktorým je iné číslo deliteľné.
Napríklad:
- gcd(12, 4) = 4.
Podobné:
- gcd(10, 1) = 1.
Vlastníctvo 3
Ak a = bq + c, kde a, b, c a q sú celé čísla, potom je množina spoločných deliteľov aab rovnaká ako množina spoločných deliteľov b a c.
Stane sa platná rovnosť gcd (a, b) = gcd (b, c).
Vlastníctvo 4
Výraz gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) platí za predpokladu, že m je ľubovoľné prirodzené číslo.
Vlastníctvo 5
Povedzme, že p je ľubovoľný spoločný deliteľ a a b.
Potom:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Ak p = gcd(a, b), dostaneme:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Čísla a / gcd (a, b) a b / gcd (a, b) sú teda rovnaké.
Vlastníctvo 6
Akékoľvek dve čísla majú aspoň jedného spoločného deliteľa – toto je číslo 1.
Na prácu s obyčajnými zlomkami sú potrebné znalosti teoretických základov konceptu GCD, ako aj praktické zručnosti v jeho definícii. Okrem toho GCD úzko súvisí s ďalšou matematickou jednotkou – najmenším spoločným deliteľom. Obe definície sa zvyčajne študujú ako súčasť štandardných školských osnov.
