Para se të vazhdohet me përkufizimin e konceptit të pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD), është e nevojshme të kuptojmë se çfarë është një pjesëtues i përbashkët në përgjithësi.
Dihet që një numër i plotë mund të ketë shumë pjesëtues. Ne jemi të interesuar për aksesin e njëkohshëm në to nga disa numra të plotë. Ne e konsiderojmë pjesëtuesin e përbashkët të disa numrave të plotë si numrin që mund të veprojë si pjesëtues për çdo numër nga seria e specifikuar.
Për shembull, numrat 8 dhe 12 kanë pjesëtuesit e mëposhtëm të përbashkët: 1 dhe 4. Kjo mund të verifikohet lehtësisht duke shkruar shprehje matematikore: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Duhet të theksohet se çdo numër fillimisht ka të paktën dy pjesëtues të përbashkët: çdo numër është i plotpjesëtueshëm me vetveten pa mbetje, dhe gjithashtu pjesëtohet me 1.
Përcaktimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët
Pjestuesi më i madh i përbashkët (GCD) i dy numrave natyrorë është më i madhi nga numrat natyrorë me të cilin ne mund të pjesëtojmë dy nga numrat tanë. Nëse vlera e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave natyrorë është 1, atëherë ne i quajmë këta numra të përbashkët.
Për dy numra a dhe b, pjesëtuesi më i madh i përbashkët është numri me të cilin a dhe b mund të ndahen pa mbetje. Kjo shprehje shkruhet si më poshtë: gcd (a, b) = c.
Një mënyrë tjetër për të shkruar GCD: (a, b) = c. Megjithatë, në shumicën e rasteve, përdoret opsioni i parë.
Pra, për shembull, numrat 4 dhe 16 kanë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të barabartë me 4. Le të shkruajmë: gcd (4, 16) = 4.
Le të përshkruajmë se si arritëm në këtë rezultat:
- Kemi shkruar të gjithë pjesëtuesit e numrit 4. Morëm: 4, 2, 1.
- Më pas, ne pikturuam të gjithë pjesëtuesit e 16. Ne morëm: 16, 8, 4, 2, 1.
- Zgjodhëm pjesëtues që janë të përbashkët për 4 dhe 16. Morëm: 4, 2, 1.
- Nga pjesëtuesit e përbashkët që rezultuan, u zgjodh më i madhi. Kjo është 4.
- Marrim përgjigjen: për numrat 4 dhe 16 GCD është 4.
Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni GCD për tre ose më shumë numra të plotë. Në këtë rast, do të jetë numri i plotë më i madh me të cilin mund të ndani të gjithë numrat nga seria e propozuar.
Pra, për shembull, pjesëtuesi më i madh për numrat e plotë 6, 12, 18, 42 do të jetë numri 6, domethënë gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Përgjigja u mor duke përdorur një algoritëm ngjashëm me atë që u përshkrua më lart - për numrat nga një seri, të gjithë pjesëtuesit u shkruan në mënyrë sekuenciale, pas së cilës u zgjodhën më të mëdhenjtë prej tyre.
Veçoritë e GCD
Pjestuesi më i madh i përbashkët ka një numër karakteristikash që do të jenë të rëndësishme për GCD të numrave të plotë pozitivë me pjesëtues më të mëdhenj se zero.
Pronësia 1
Nga ndryshimi i vendeve të numrave, vlera përfundimtare e GCD nuk do të ndryshojë. Ju mund ta shkruani këtë deklaratë si kjo:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Pronësia 2
Nëse a është i pjesëtueshëm me b, atëherë bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të a dhe b është e njëjtë me bashkësinë e pjesëtuesve të b. Shkruar kështu:
- gcd(a, b) = b.
Vetia e provuar e pjesëtuesit më të madh mund të përdoret për të gjetur gcd-në e dy numrave kur njëri prej tyre është i pjesëtueshëm me tjetrin. Në këtë rast, GCD është e barabartë me njërin prej këtyre numrave, me të cilin një numër tjetër është i pjesëtueshëm.
Për shembull:
- gcd(12, 4) = 4.
E ngjashme:
- gcd(10, 1) = 1.
Pronësia 3
Nëse a = bq + c, ku a, b, c dhe q janë numra të plotë, atëherë bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të a dhe b është e njëjtë me bashkësinë e pjesëtuesve të përbashkët të b dhe c.
Barazia gcd (a, b) = gcd (b, c) bëhet e vlefshme.
Pronësia 4
Shprehja gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) është e vërtetë me kusht që m të jetë çdo numër natyror.
Pronësia 5
Le të themi se p është çdo pjesëtues i përbashkët i a dhe b.
Pastaj:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Nëse p = gcd(a, b), marrim:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Kështu, numrat a / gcd (a, b) dhe b / gcd (a, b) janë të dyfishtë.
Pronësia 6
Çdo dy numra kanë të paktën një pjesëtues të përbashkët - ky është numri 1.
Njohja e bazave teorike të konceptit GCD, si dhe aftësitë praktike në përkufizimin e tij, janë të nevojshme për të punuar me thyesat e zakonshme. Për më tepër, GCD është e lidhur ngushtë me një njësi tjetër matematikore - pjesëtuesin më pak të zakonshëm. Të dy përkufizimet zakonisht studiohen si pjesë e një kurrikule standarde shkollore.
