Llogaritësi i FNP

Vegla të tjera

Llogaritësi i sipërfaqes{$ ',' | translate $}
Llogaritësi i perimetrit{$ ',' | translate $}
Llogaritësi i vëllimit{$ ',' | translate $}
Tabela e shumëzimit{$ ',' | translate $}
Sistemi periodik{$ ',' | translate $}
Llogaritësi i matricave{$ ',' | translate $}
Llogaritësi i KFP{$ ',' | translate $}
Llogaritësi i trigonometrisë{$ ',' | translate $}

Kalkulatori i faktorëve më të mëdhenj të përbashkët

Para se të vazhdohet me përkufizimin e konceptit të pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD), është e nevojshme të kuptojmë se çfarë është një pjesëtues i përbashkët në përgjithësi.

Dihet që një numër i plotë mund të ketë shumë pjesëtues. Ne jemi të interesuar për aksesin e njëkohshëm në to nga disa numra të plotë. Ne e konsiderojmë pjesëtuesin e përbashkët të disa numrave të plotë si numrin që mund të veprojë si pjesëtues për çdo numër nga seria e specifikuar.

Për shembull, numrat 8 dhe 12 kanë pjesëtuesit e mëposhtëm të përbashkët: 1 dhe 4. Kjo mund të verifikohet lehtësisht duke shkruar shprehje matematikore: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Duhet të theksohet se çdo numër fillimisht ka të paktën dy pjesëtues të përbashkët: çdo numër është i plotpjesëtueshëm me vetveten pa mbetje, dhe gjithashtu pjesëtohet me 1.

Përcaktimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët

Pjestuesi më i madh i përbashkët (GCD) i dy numrave natyrorë është më i madhi nga numrat natyrorë me të cilin ne mund të pjesëtojmë dy nga numrat tanë. Nëse vlera e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave natyrorë është 1, atëherë ne i quajmë këta numra të përbashkët.

Për dy numra a dhe b, pjesëtuesi më i madh i përbashkët është numri me të cilin a dhe b mund të ndahen pa mbetje. Kjo shprehje shkruhet si më poshtë: gcd (a, b) = c.

Një mënyrë tjetër për të shkruar GCD: (a, b) = c. Megjithatë, në shumicën e rasteve, përdoret opsioni i parë.

Pra, për shembull, numrat 4 dhe 16 kanë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të barabartë me 4. Le të shkruajmë: gcd (4, 16) = 4.

Le të përshkruajmë se si arritëm në këtë rezultat:

Kemi shkruar të gjithë pjesëtuesit e numrit 4. Morëm: 4, 2, 1.
Më pas, ne pikturuam të gjithë pjesëtuesit e 16. Ne morëm: 16, 8, 4, 2, 1.
Zgjodhëm pjesëtues që janë të përbashkët për 4 dhe 16. Morëm: 4, 2, 1.
Nga pjesëtuesit e përbashkët që rezultuan, u zgjodh më i madhi. Kjo është 4.
Marrim përgjigjen: për numrat 4 dhe 16 GCD është 4.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni GCD për tre ose më shumë numra të plotë. Në këtë rast, do të jetë numri i plotë më i madh me të cilin mund të ndani të gjithë numrat nga seria e propozuar.

Pra, për shembull, pjesëtuesi më i madh për numrat e plotë 6, 12, 18, 42 do të jetë numri 6, domethënë gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Përgjigja u mor duke përdorur një algoritëm ngjashëm me atë që u përshkrua më lart - për numrat nga një seri, të gjithë pjesëtuesit u shkruan në mënyrë sekuenciale, pas së cilës u zgjodhën më të mëdhenjtë prej tyre.

Veçoritë e GCD

Pjestuesi më i madh i përbashkët ka një numër karakteristikash që do të jenë të rëndësishme për GCD të numrave të plotë pozitivë me pjesëtues më të mëdhenj se zero.

Pronësia 1

Nga ndryshimi i vendeve të numrave, vlera përfundimtare e GCD nuk do të ndryshojë. Ju mund ta shkruani këtë deklaratë si kjo:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Pronësia 2

Nëse a është i pjesëtueshëm me b, atëherë bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të a dhe b është e njëjtë me bashkësinë e pjesëtuesve të b. Shkruar kështu:

gcd(a, b) = b.

Vetia e provuar e pjesëtuesit më të madh mund të përdoret për të gjetur gcd-në e dy numrave kur njëri prej tyre është i pjesëtueshëm me tjetrin. Në këtë rast, GCD është e barabartë me njërin prej këtyre numrave, me të cilin një numër tjetër është i pjesëtueshëm.

Për shembull:

gcd(12, 4) = 4.

E ngjashme:

gcd(10, 1) = 1.

Pronësia 3

Nëse a = bq + c, ku a, b, c dhe q janë numra të plotë, atëherë bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të a dhe b është e njëjtë me bashkësinë e pjesëtuesve të përbashkët të b dhe c.

Barazia gcd (a, b) = gcd (b, c) bëhet e vlefshme.

Pronësia 4

Shprehja gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) është e vërtetë me kusht që m të jetë çdo numër natyror.

Pronësia 5

Le të themi se p është çdo pjesëtues i përbashkët i a dhe b.

Pastaj:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

Nëse p = gcd(a, b), marrim:

gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

Kështu, numrat a / gcd (a, b) dhe b / gcd (a, b) janë të dyfishtë.

Pronësia 6

Çdo dy numra kanë të paktën një pjesëtues të përbashkët - ky është numri 1.

Njohja e bazave teorike të konceptit GCD, si dhe aftësitë praktike në përkufizimin e tij, janë të nevojshme për të punuar me thyesat e zakonshme. Për më tepër, GCD është e lidhur ngushtë me një njësi tjetër matematikore - pjesëtuesin më pak të zakonshëm. Të dy përkufizimet zakonisht studiohen si pjesë e një kurrikule standarde shkollore.

Si të gjeni faktorin më të madh të përbashkët (GCF)

Gjetja e pjesëtuesit më të madh të përbashkët (gcd) është një detyrë mjaft e njohur. Ky veprim na ndihmon të kryejmë llogaritjet në të cilat shfaqen thyesat e zakonshme.

Metodat për gjetjen e GCD

Ka disa truke për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Ne do të shqyrtojmë më të njohurit prej tyre.

Gjetja e GCD me zbërthimin e numrave në faktorët kryesorë

Kjo metodë është një nga më të përdorurat në zgjidhjen e problemeve matematikore.

Algoritmi për përcaktimin e GCD me zbërthimin në faktorët kryesorë përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

Ne i paraqesim numrat si faktorë të thjeshtë. Për shembull, numri 20 mund të përfaqësohet si prodhim i 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Zgjidhni faktorët që do të jenë të pranishëm në të dy zgjerimet.
Gjeni produktin e këtyre faktorëve.

Le të shqyrtojmë disa shembuj të zbatimit të këtij algoritmi në praktikë:

Përcaktoni GCD-në e numrave 12 dhe 8.

Zbërthe 12 dhe 8 në faktorët kryesorë:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Ne shikojmë se cilët faktorë janë të pranishëm në të dy zgjerimet. Gjeni: 2 dhe 2.

Ne i shumëzojmë faktorët dhe marrim:

2 ⋅ 2 = 4.

Përgjigje: gcd (12, 8) = 4.

Përcaktoni GCD-në e numrave 75 dhe 150.

Sekuenca e zgjidhjes është e ngjashme me shembullin e mëparshëm.

Le të paraqesim 75 dhe 150 si faktorë kryesorë:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Përcaktoni faktorët e përsëritur në të dy zgjerimet: 3, 5 dhe 5.

Ne i shumëzojmë numrat që rezultojnë së bashku: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Përgjigje: gcd (75, 150) = 75.

Përcaktoni GCD-në e numrave 9 dhe 5.

Ky shembull përdor numra të thjeshtë, shumëzuesi i të cilëve mund të jetë vetëm 1.

Kur faktorizojmë 9 dhe 5 në faktorët kryesorë, do të shohim se ata nuk kanë të njëjtët faktorë:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Duhet të mbahet mend se ky rast është i veçantë. Numra të tillë janë të dyfishtë, dhe pjesëtuesi i tyre i përbashkët është një.

Algoritmi i Euklidit

Ky algoritëm u emërua sipas matematikanit të lashtë grek Euklid, i cili e përshkroi për herë të parë në shkrimet e tij (librat e 7-të dhe të 10-të të "Fillimeve"). Dihet se Euklidi nuk ishte autori i këtij algoritmi. Megjithatë, ai konsiderohet si një nga algoritmet më të vjetër në përdorim sot.

Algoritmi i Euklidit e bën të lehtë llogaritjen e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave pozitivë.

Për të gjetur GCD (a, b), ky algoritëm duket si ky:

Nëse a = 0 atëherë gcd(a, b) = b sepse gcd(0, b) = b dhe algoritmi ndalon.
Nëse b = 0 atëherë gcd(a, b) = a sepse gcd(a, 0) = a dhe algoritmi ndalon.
Pjestoni a me b me mbetjen (a = b ⋅ q + r)
Gjeni gcd(b, r) duke përdorur algoritmin e Euklidit sepse gcd(a, b) = gcd(b, r).

Për të verifikuar efektivitetin e metodës në praktikë, merrni parasysh një shembull.

Është e nevojshme të përcaktohet GCD e numrave 270 dhe 192.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Pjestoni a me b, marrim:

270 / 192 = 1 (pjesa e mbetur është 78).

Rezultatin mund ta shkruani si: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Më pas, do të llogarisim gcd (192, 78), pasi gcd (270, 192) = gcd (192, 78).

Le të vazhdojmë.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Pjestoni a me b, marrim:

192 / 78 = 2 (pjesa e mbetur është 36).

Mund të shkruhet si:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

Llogaritni gcd(78, 36) pasi gcd(192, 78) = gcd(78, 36).

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Pjestoni a me b, marrim:

78 / 36 = 2 (pjesa e mbetur është 0).

Le ta shkruajmë rezultatin si:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Llogarit gcd(36, 6) pasi gcd(78, 36) = gcd(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Pjestoni A me B, marrim 36 / 6 = 6 (pjesa e mbetur është 0).

Shkruani rezultatin në formën e mëposhtme:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Më pas gjejmë gcd(6, 0) pasi gcd(36, 6) = gcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Si rezultat kemi:

gcd(6, 0) = 6.

Kështu, kemi sekuencën e mëposhtme të llogaritjeve:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

Si rezultat, kemi përgjigjen:

gcd(270, 192) = 6.

Secila nga metodat e kërkimit të diskutuara më sipër ka avantazhet dhe disavantazhet e veta. Metoda e parë është e shkëlqyeshme për të punuar me shembuj relativisht të thjeshtë, ndryshe nga e dyta, e cila mund të përdoret për të zgjidhur probleme më komplekse matematikore.