NZD kalkulator

Drugi alati

Kalkulator površine{$ ',' | translate $}
Kalkulator perimetra{$ ',' | translate $}
Kalkulator zapremine{$ ',' | translate $}
Tablica množenja{$ ',' | translate $}
Periodni sistem{$ ',' | translate $}
Kalkulator matrica{$ ',' | translate $}
NZS kalkulator{$ ',' | translate $}
Trigonometrijski kalkulator{$ ',' | translate $}

Kalkulator najvećeg zajedničkog delioca

Pre nego što pređemo na definiciju koncepta najvećeg zajedničkog delioca (GCD), neophodno je razumeti šta je uopšte zajednički delilac.

Poznato je da ceo broj može imati više delilaca. Zanima nas simultani pristup nekoliko celih brojeva. Smatramo da je zajednički delilac nekoliko celih brojeva broj koji može da deluje kao delilac za svaki broj iz navedenog niza.

Na primer, brojevi 8 i 12 imaju sledeće zajedničke delioce: 1 i 4. Ovo se lako može proveriti pisanjem matematičkih izraza: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Treba imati na umu da svaki broj u početku ima najmanje dva zajednička delioca: svaki broj je deljiv sam sa sobom bez ostatka, a takođe je deljiv sa 1.

Određivanje najvećeg zajedničkog delioca

Najveći zajednički delilac (GCD) dva prirodna broja je najveći od prirodnih brojeva kojim možemo podeliti dva naša broja. Ako je vrednost najvećeg zajedničkog delioca dva prirodna broja 1, onda ove brojeve nazivamo zajednički prostim.

Za dva broja a i b, najveći zajednički delilac je broj kojim se a i b mogu podeliti bez ostatka. Ovaj izraz je zapisan na sledeći način: gcd (a, b) = c.

Drugi način za pisanje GCD: (a, b) = c. Međutim, u većini slučajeva koristi se prva opcija.

Dakle, na primer, brojevi 4 i 16 imaju najveći zajednički delilac jednak 4. Hajde da napišemo: gcd (4, 16) = 4.

Hajde da opišemo kako smo došli do ovog rezultata:

Napisali smo sve delioce broja 4. Dobili smo: 4, 2, 1.
Dalje smo naslikali sve delioce broja 16. Dobili smo: 16, 8, 4, 2, 1.
Izabrali smo delioce koji su zajednički i za 4 i za 16. Dobili smo: 4, 2, 1.
Od dobijenih zajedničkih delilaca, izabran je najveći. Ovo je 4.
Dobili smo odgovor: za brojeve 4 i 16 GCD je 4.

Slično, možete pronaći GCD za tri ili više celih brojeva. U ovom slučaju, to će biti najveći ceo broj kojim možete podeliti sve brojeve iz predloženog niza.

Dakle, na primer, najveći delilac celih brojeva 6, 12, 18, 42 biće broj 6, odnosno gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Odgovor je dobijen pomoću algoritma slično onome što je gore opisano - za brojeve iz serije svi delioci su uzastopno ispisani, nakon čega su izabrani najveći od njih.

GCD svojstva

Najveći zajednički delilac ima brojna svojstva koja će biti relevantna za GCD pozitivnih celih brojeva sa deliocima većim od nule.

Svojstvo 1

Od promene mesta brojeva, konačna vrednost GCD se neće promeniti. Ovu izjavu možete napisati ovako:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Svojstvo 2

Ako je a deljivo sa b, onda je skup zajedničkih delilaca a i b isti kao skup delilaca b. Napisano ovako:

gcd(a, b) = b.

Dokazano svojstvo najvećeg delioca može se koristiti za pronalaženje gcd dva broja kada je jedan od njih deljiv drugim. U ovom slučaju, GCD je jednak jednom od ovih brojeva, kojim je drugi broj deljiv.

Na primer:

gcd(12, 4) = 4.

Slično:

gcd(10, 1) = 1.

Svojstvo 3

Ako je a = bk + c, gde su a, b, c i k celi brojevi, onda je skup zajedničkih delilaca a i b isti kao skup zajedničkih delilaca b i c.

Jednakost gcd (a, b) = gcd (b, c) postaje važeća.

Svojstvo 4

Izraz gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) je tačan pod uslovom da je m bilo koji prirodan broj.

Svojstvo 5

Recimo da je p bilo koji zajednički delilac a i b.

Onda:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

Ako je p = gcd(a, b), dobijamo:

gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

Dakle, brojevi a / gcd (a, b) i b / gcd (a, b) su međusobno prosti.

Svojstvo 6

Bilo koja dva broja imaju bar jedan zajednički delilac - ovo je broj 1.

Poznavanje teorijskih osnova koncepta GCD, kao i praktične veštine u njegovom definisanju, neophodne su za rad sa običnim razlomcima. Pored toga, GCD je usko povezan sa drugom matematičkom jedinicom - najmanjim zajedničkim deliocem. Obe definicije se obično proučavaju kao deo standardnog školskog programa.

Kako naći najveći zajednički delilac

Pronalaženje najvećeg zajedničkog delioca (gcd) je prilično popularan zadatak. Ova radnja nam pomaže da izvršimo proračune u kojima se pojavljuju obični razlomci.

Metode za pronalaženje GCD

Postoji nekoliko trikova za pronalaženje najvećeg zajedničkog delioca. Razmotrićemo najpopularnije od njih.

Pronalaženje GCD-a sa dekompozicijom brojeva na proste faktore

Ova metoda je jedna od najčešće korišćenih u rešavanju matematičkih problema.

Algoritam za određivanje GCD sa dekompozicijom na proste faktore sastoji se od sledećih koraka:

Mi predstavljamo brojeve kao proste faktore. Na primer, broj 20 se može predstaviti kao proizvod od 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Izaberite faktore koji će biti prisutni u oba proširenja.
Pronađite proizvod ovih faktora.

Razmotrimo nekoliko primera primene ovog algoritma u praksi:

Odredi GCD brojeva 12 i 8.

Razloži 12 i 8 na proste faktore:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Razmatramo koji faktori su prisutni u obe ekspanzije. Pronađite: 2 i 2.

Množimo faktore i dobijamo:

2 ⋅ 2 = 4.

Odgovor: gcd (12, 8) = 4.

Odredi GCD brojeva 75 i 150.

Sekvenca rešenja je slična prethodnom primeru.

Hajde da predstavimo 75 i 150 kao proste faktore:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Odredite faktore koji se ponavljaju u oba proširenja: 3, 5 i 5.

Rezultujuće brojeve množimo zajedno: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Odgovor: gcd (75, 150) = 75.

Odredi GCD brojeva 9 i 5.

Ovaj primer koristi proste brojeve čiji množilac može biti samo 1.

Kada razložimo 9 i 5 u proste činioce, videćemo da oni nemaju iste faktore:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Mora se imati na umu da je ovaj slučaj poseban. Takvi brojevi su međusobno prosti, a njihov zajednički delilac je jedan.

Euklidov algoritam

Ovaj algoritam je dobio ime po starogrčkom matematičaru Euklidu, koji ga je prvi opisao u svojim spisima (7. i 10. knjiga „Početaka“). Poznato je da Euklid nije bio autor ovog algoritma. Ipak, smatra se jednim od najstarijih algoritama koji se danas koriste.

Euklidov algoritam olakšava izračunavanje najvećeg zajedničkog delioca dva pozitivna broja.

Da biste pronašli GCD (a, b), ovaj algoritam izgleda ovako:

Ako je a = 0, onda je gcd(a, b) = b jer je gcd(0, b) = b i algoritam se zaustavlja.
Ako je b = 0, onda je gcd(a, b) = a jer je gcd(a, 0) = a i algoritam se zaustavlja.
Podeli a sa b ostatkom (a = b ⋅ k + r)
Pronađite gcd(b, r) pomoću Euklidovog algoritma jer gcd(a, b) = gcd(b, r).

Da biste proverili efikasnost metode u praksi, razmotrite primer.

Neophodno je odrediti GCD brojeva 270 i 192.

a = 270, b = 192.
a = 0.
b = 0.

Podelimo a sa b, dobijamo:

270 / 192 = 1 (ostatak je 78).

Rezultat možete napisati kao: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Dalje ćemo izračunati gcd (192, 78), pošto je gcd (270, 192) = gcd (192, 78).

Idemo dalje.

a = 192, b = 78.
a = 0.
b = 0.

Podelimo a sa b, dobijamo:

192 / 78 = 2 (ostatak je 36).

Može se napisati kao:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

Izračunajte gcd(78, 36) pošto je gcd(192, 78) = gcd(78, 36).

a = 78, b = 36.
a = 0.
b = 0.

Podelimo a sa b, dobijamo:

78 / 36 = 2 (ostatak je 0).

Zapišimo rezultat kao:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Izračunajte gcd(36, 6) pošto je gcd(78, 36) = gcd(36, 6).

a = 36, b = 6.
a = 0.
b = 0.

Podelimo A sa B, dobijamo 36/6 = 6 (ostatak je 0).

Napišite rezultat u sledećem obliku:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Dalje nalazimo gcd(6, 0) pošto gcd(36, 6) = gcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a = 0.
b = 0.

Kao rezultat imamo:

gcd(6, 0) = 6.

Dakle, imamo sledeći niz proračuna:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

Kao rezultat, imamo odgovor:

gcd(270, 192) = 6.

Svaka od gore navedenih metoda pretrage ima svoje prednosti i nedostatke. Prvi metod je odličan za rad sa relativno jednostavnim primerima, za razliku od drugog, koji se može koristiti za rešavanje složenijih matematičkih problema.