Pre nego što pređemo na definiciju koncepta najvećeg zajedničkog delioca (GCD), neophodno je razumeti šta je uopšte zajednički delilac.
Poznato je da ceo broj može imati više delilaca. Zanima nas simultani pristup nekoliko celih brojeva. Smatramo da je zajednički delilac nekoliko celih brojeva broj koji može da deluje kao delilac za svaki broj iz navedenog niza.
Na primer, brojevi 8 i 12 imaju sledeće zajedničke delioce: 1 i 4. Ovo se lako može proveriti pisanjem matematičkih izraza: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Treba imati na umu da svaki broj u početku ima najmanje dva zajednička delioca: svaki broj je deljiv sam sa sobom bez ostatka, a takođe je deljiv sa 1.
Određivanje najvećeg zajedničkog delioca
Najveći zajednički delilac (GCD) dva prirodna broja je najveći od prirodnih brojeva kojim možemo podeliti dva naša broja. Ako je vrednost najvećeg zajedničkog delioca dva prirodna broja 1, onda ove brojeve nazivamo zajednički prostim.
Za dva broja a i b, najveći zajednički delilac je broj kojim se a i b mogu podeliti bez ostatka. Ovaj izraz je zapisan na sledeći način: gcd (a, b) = c.
Drugi način za pisanje GCD: (a, b) = c. Međutim, u većini slučajeva koristi se prva opcija.
Dakle, na primer, brojevi 4 i 16 imaju najveći zajednički delilac jednak 4. Hajde da napišemo: gcd (4, 16) = 4.
Hajde da opišemo kako smo došli do ovog rezultata:
- Napisali smo sve delioce broja 4. Dobili smo: 4, 2, 1.
- Dalje smo naslikali sve delioce broja 16. Dobili smo: 16, 8, 4, 2, 1.
- Izabrali smo delioce koji su zajednički i za 4 i za 16. Dobili smo: 4, 2, 1.
- Od dobijenih zajedničkih delilaca, izabran je najveći. Ovo je 4.
- Dobili smo odgovor: za brojeve 4 i 16 GCD je 4.
Slično, možete pronaći GCD za tri ili više celih brojeva. U ovom slučaju, to će biti najveći ceo broj kojim možete podeliti sve brojeve iz predloženog niza.
Dakle, na primer, najveći delilac celih brojeva 6, 12, 18, 42 biće broj 6, odnosno gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Odgovor je dobijen pomoću algoritma slično onome što je gore opisano - za brojeve iz serije svi delioci su uzastopno ispisani, nakon čega su izabrani najveći od njih.
GCD svojstva
Najveći zajednički delilac ima brojna svojstva koja će biti relevantna za GCD pozitivnih celih brojeva sa deliocima većim od nule.
Svojstvo 1
Od promene mesta brojeva, konačna vrednost GCD se neće promeniti. Ovu izjavu možete napisati ovako:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Svojstvo 2
Ako je a deljivo sa b, onda je skup zajedničkih delilaca a i b isti kao skup delilaca b. Napisano ovako:
- gcd(a, b) = b.
Dokazano svojstvo najvećeg delioca može se koristiti za pronalaženje gcd dva broja kada je jedan od njih deljiv drugim. U ovom slučaju, GCD je jednak jednom od ovih brojeva, kojim je drugi broj deljiv.
Na primer:
- gcd(12, 4) = 4.
Slično:
- gcd(10, 1) = 1.
Svojstvo 3
Ako je a = bk + c, gde su a, b, c i k celi brojevi, onda je skup zajedničkih delilaca a i b isti kao skup zajedničkih delilaca b i c.
Jednakost gcd (a, b) = gcd (b, c) postaje važeća.
Svojstvo 4
Izraz gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) je tačan pod uslovom da je m bilo koji prirodan broj.
Svojstvo 5
Recimo da je p bilo koji zajednički delilac a i b.
Onda:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Ako je p = gcd(a, b), dobijamo:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Dakle, brojevi a / gcd (a, b) i b / gcd (a, b) su međusobno prosti.
Svojstvo 6
Bilo koja dva broja imaju bar jedan zajednički delilac - ovo je broj 1.
Poznavanje teorijskih osnova koncepta GCD, kao i praktične veštine u njegovom definisanju, neophodne su za rad sa običnim razlomcima. Pored toga, GCD je usko povezan sa drugom matematičkom jedinicom - najmanjim zajedničkim deliocem. Obe definicije se obično proučavaju kao deo standardnog školskog programa.
