Innan du går vidare till definitionen av begreppet den största gemensamma divisorn (GCD), är det nödvändigt att förstå vad en gemensam divisor är i allmänhet.
Det är känt att ett heltal kan ha flera divisorer. Vi är intresserade av att flera heltal får tillgång till dem samtidigt. Vi anser att den gemensamma divisorn för flera heltal är det tal som kan fungera som en divisor för varje tal från den angivna serien.
Till exempel, talen 8 och 12 har följande gemensamma delare: 1 och 4. Detta kan enkelt verifieras genom att skriva matematiska uttryck: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Det bör noteras att varje tal initialt har minst två gemensamma divisorer: vilket tal som helst är delbart med sig självt utan rest, och är även delbart med 1.
Bestämma den största gemensamma delaren
Den största gemensamma delaren (GCD) av två naturliga tal är den största av de naturliga tal som vi kan dividera två av våra tal med. Om värdet av den största gemensamma delaren av två naturliga tal är 1, då kallar vi dessa tal för coprime.
För två tal a och b är den största gemensamma divisorn det tal som a och b kan delas med utan rest. Detta uttryck skrivs enligt följande: gcd (a, b) = c.
Ett annat sätt att skriva GCD: (a, b) = c. Men i de flesta fall används det första alternativet.
Så, till exempel, talen 4 och 16 har den största gemensamma divisorn lika med 4. Låt oss skriva: gcd (4, 16) = 4.
Låt oss beskriva hur vi kom fram till detta resultat:
- Vi skrev ut alla divisorer för talet 4. Vi fick: 4, 2, 1.
- Närnäst målade vi alla delare av 16. Vi fick: 16, 8, 4, 2, 1.
- Vi valde divisorer som är gemensamma för både 4 och 16. Vi fick: 4, 2, 1.
- Från de resulterande gemensamma divisorerna valdes den största. Det här är 4.
- Vi får svaret: för nummer 4 och 16 är GCD 4.
På liknande sätt kan du hitta GCD för tre eller fler heltal. I det här fallet kommer det att vara det största heltal som du kan dividera alla tal från den föreslagna serien med.
Så, till exempel, den största divisorn för heltalen 6, 12, 18, 42 kommer att vara talet 6, det vill säga gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Svaret erhölls med hjälp av en algoritm liknande det som beskrevs ovan - för tal från en serie skrevs alla divisorer ut sekventiellt, varefter de största av dem valdes ut.
GCD-egenskaper
Den största gemensamma divisorn har ett antal egenskaper som är relevanta för GCD av positiva heltal med divisorer större än noll.
Egenskap 1
Från byte av nummer kommer det slutliga värdet för GCD inte att ändras. Du kan skriva detta uttalande så här:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Egenskap 2
Om a är delbart med b, är mängden gemensamma divisorer för a och b densamma som mängden divisorer för b. Skrivet så här:
- gcd(a, b) = b.
Den bevisade största divisoregenskapen kan användas för att hitta gcd för två tal när ett av dem är delbart med det andra. I det här fallet är GCD lika med ett av dessa tal, med vilket ett annat tal är delbart.
Till exempel:
- gcd(12, 4) = 4.
Liknande:
- gcd(10, 1) = 1.
Egendom 3
Om a = bq + c, där a, b, c och q är heltal, är mängden gemensamma divisorer för a och b densamma som mängden gemensamma divisorer för b och c.
Likalikheten gcd (a, b) = gcd (b, c) blir giltig.
Egenskap 4
Uttrycket gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) är sant förutsatt att m är ett naturligt tal.
Egenskap 5
Låt oss säga att p är vilken gemensam divisor som helst av a och b.
Sedan:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Om p = gcd(a, b), får vi:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Därför är siffrorna a / gcd (a, b) och b / gcd (a, b) coprime.
Egenskap 6
Valfria två tal har minst en gemensam divisor - det här är talet 1.
Kunskaper om de teoretiska grunderna för GCD-begreppet, samt praktiska färdigheter i dess definition, är nödvändiga för att arbeta med vanliga bråk. Dessutom är GCD nära besläktad med en annan matematisk enhet - den minst gemensamma divisorn. Båda definitionerna studeras vanligtvis som en del av en standard skolplan.
