Calculator ng GCF

Iba pang mga tool

Calculator ng area{$ ',' | translate $}
Calculator ng perimeter{$ ',' | translate $}
Calculator ng dami{$ ',' | translate $}
Talaan ng multiplikasyon{$ ',' | translate $}
Talahanayang peryodiko{$ ',' | translate $}
Calculator ng matrix{$ ',' | translate $}
Calculator ng LCM{$ ',' | translate $}
Calculator ng trigonometrya{$ ',' | translate $}

Greatest common factor calculator

Bago magpatuloy sa kahulugan ng konsepto ng greatest common divisor (GCD), kailangang maunawaan kung ano ang common divisor sa pangkalahatan.

Alam na ang isang integer ay maaaring magkaroon ng maraming divisors. Interesado kami sa sabay-sabay na pag-access sa kanila ng ilang mga integer. Itinuturing namin ang karaniwang divisor ng ilang integer bilang ang numerong maaaring kumilos bilang divisor para sa bawat numero mula sa tinukoy na serye.

Halimbawa, ang mga numero 8 at 12 ay may mga sumusunod na karaniwang divisors: 1 at 4. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagsulat ng mga mathematical expression: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Dapat tandaan na ang bawat numero sa simula ay may hindi bababa sa dalawang karaniwang divisors: ang anumang numero ay nahahati sa sarili nito nang walang nalalabi, at nahahati din ng 1.

Pagtukoy sa Pinakamahusay na Common Divisor

Ang Greatest Common Divisor (GCD) ng dalawang natural na numero ay ang pinakamalaki sa mga natural na numero kung saan maaari nating hatiin ang dalawa sa ating mga numero. Kung ang halaga ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang natural na numero ay 1, kung gayon ang mga numerong ito ay tinatawag naming coprime.

Para sa dalawang numerong a at b, ang pinakamalaking karaniwang divisor ay ang bilang kung saan maaaring hatiin ang a at b nang walang natitira. Isinulat ang expression na ito tulad ng sumusunod: gcd (a, b) = c.

Isa pang paraan ng pagsulat ng GCD: (a, b) = c. Gayunpaman, sa karamihan ng mga kaso, ginagamit ang unang opsyon.

Kaya, halimbawa, ang mga numero 4 at 16 ay may pinakamalaking karaniwang divisor na katumbas ng 4. Isulat natin: gcd (4, 16) = 4.

Ilarawan natin kung paano tayo nakarating sa resultang ito:

Isinulat namin ang lahat ng mga divisors ng numero 4. Nakakuha kami ng: 4, 2, 1.
Susunod, pininturahan namin ang lahat ng divisors ng 16. Nakuha namin ang: 16, 8, 4, 2, 1.
Pumili kami ng mga divisors na karaniwan para sa 4 at 16. Nakakuha kami ng: 4, 2, 1.
Mula sa mga nagresultang karaniwang divisors, ang pinakamalaki ang napili. Ito ay 4.
Nakuha namin ang sagot: para sa mga numero 4 at 16 GCD ay 4.

Katulad nito, mahahanap mo ang GCD para sa tatlo o higit pang integer. Sa kasong ito, ito ang magiging pinakamalaking integer kung saan maaari mong hatiin ang lahat ng numero mula sa iminungkahing serye.

Kaya, halimbawa, ang pinakamalaking divisor para sa mga integer na 6, 12, 18, 42 ay ang numero 6, ibig sabihin, gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Nakuha ang sagot gamit ang isang algorithm katulad ng inilarawan sa itaas - para sa mga numero mula sa isang serye, ang lahat ng mga divisor ay sunud-sunod na isinulat, pagkatapos ay pinili ang pinakamalaki sa kanila.

Mga GCD Property

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay may ilang mga katangian na magiging may-katuturan para sa GCD ng mga positive integer na may mga divisor na mas malaki sa zero.

Property 1

Mula sa pagpapalit ng mga lugar ng mga numero, hindi magbabago ang panghuling halaga ng GCD. Maaari mong isulat ang pahayag na ito tulad nito:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Property 2

Kung ang a ay nahahati ng b, ang hanay ng mga karaniwang divisors ng a at b ay kapareho ng set ng mga divisors ng b. Isinulat nang ganito:

gcd(a, b) = b.

Maaaring gamitin ang napatunayang pinakamalaking divisor property para mahanap ang gcd ng dalawang numero kapag ang isa sa mga ito ay nahahati ng isa. Sa kasong ito, ang GCD ay katumbas ng isa sa mga numerong ito, kung saan ang isa pang numero ay nahahati.

Halimbawa:

gcd(12, 4) = 4.

Katulad:

gcd(10, 1) = 1.

Property 3

Kung ang a = bq + c, kung saan ang a, b, c at q ay mga integer, kung gayon ang hanay ng mga karaniwang divisors ng a at b ay kapareho ng set ng mga karaniwang divisors ng b at c.

Nagiging wasto ang pagkakapantay-pantay na gcd (a, b) = gcd (b, c).

Property 4

Ang expression na gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) ay totoo kung ang m ay anumang natural na numero.

Property 5

Sabihin nating ang p ay anumang karaniwang divisor ng a at b.

Pagkatapos:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

Kung p = gcd(a, b), makakakuha tayo ng:

gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

Kaya, ang mga numerong a / gcd (a, b) at b / gcd (a, b) ay coprime.

Property 6

Anumang dalawang numero ay may hindi bababa sa isang karaniwang divisor - ito ang numero 1.

Ang kaalaman sa mga teoretikal na pundasyon ng konsepto ng GCD, pati na rin ang mga praktikal na kasanayan sa kahulugan nito, ay kinakailangan upang gumana sa mga ordinaryong fraction. Bilang karagdagan, ang GCD ay malapit na nauugnay sa isa pang mathematical unit - ang hindi gaanong karaniwang divisor. Ang parehong kahulugan ay karaniwang pinag-aaralan bilang bahagi ng isang karaniwang kurikulum ng paaralan.

Paano mahahanap ang pinakamalaking karaniwang salik

Ang paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ay isang medyo sikat na gawain. Tinutulungan kami ng pagkilos na ito na magsagawa ng mga kalkulasyon kung saan lumalabas ang mga ordinaryong fraction.

Mga paraan para sa paghahanap ng GCD

May ilang mga trick upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor. Isasaalang-alang namin ang pinakasikat sa kanila.

Paghahanap sa GCD na may decomposition ng mga numero sa prime factor

Ang paraang ito ay isa sa pinakamadalas na ginagamit sa paglutas ng mga problema sa matematika.

Ang algorithm para sa pagtukoy ng GCD na may decomposition sa prime factor ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

Kinatawan namin ang mga numero bilang pangunahing mga kadahilanan. Halimbawa, ang numero 20 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Piliin ang mga salik na makikita sa parehong pagpapalawak.
Hanapin ang produkto ng mga salik na ito.

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng aplikasyon ng algorithm na ito sa pagsasanay:

Tukuyin ang GCD ng mga numero 12 at 8.

I-decompose ang 12 at 8 sa mga pangunahing salik:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Tinitingnan namin kung anong mga salik ang naroroon sa parehong pagpapalawak. Hanapin: 2 at 2.

Dumi-multiply namin ang mga salik at makakuha ng:

2 ⋅ 2 = 4.

Sagot: gcd (12, 8) = 4.

Tukuyin ang GCD ng mga numero 75 at 150.

Ang pagkakasunud-sunod ng solusyon ay katulad ng nakaraang halimbawa.

Katawanin natin ang 75 at 150 bilang pangunahing mga kadahilanan:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Tukuyin ang mga salik na nauulit sa parehong pagpapalawak: 3, 5 at 5.

Pinagsama-sama nating i-multiply ang mga resultang numero: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Sagot: gcd (75, 150) = 75.

Tukuyin ang GCD ng mga numero 9 at 5.

Gumagamit ang halimbawang ito ng mga prime number na ang multiplier ay maaari lamang 1.

Kapag isinasali ang 9 at 5 sa mga pangunahing salik, makikita natin na wala silang parehong salik:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Dapat tandaan na ang kasong ito ay espesyal. Ang mga naturang numero ay coprime, at ang kanilang karaniwang divisor ay isa.

Euclid's algorithm

Ang algorithm na ito ay pinangalanan sa sinaunang Greek mathematician na si Euclid, na unang inilarawan ito sa kanyang mga sinulat (ika-7 at ika-10 aklat ng "Mga Simula"). Alam na hindi si Euclid ang may-akda ng algorithm na ito. Gayunpaman, ito ay itinuturing na isa sa mga pinakalumang algorithm na ginagamit ngayon.

Pinapadali ng algorithm ng Euclid na kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang positibong numero.

Upang mahanap ang GCD (a, b), ganito ang hitsura ng algorithm na ito:

Kung a = 0 pagkatapos ay gcd(a, b) = b dahil ang gcd(0, b) = b at huminto ang algorithm.
Kung b = 0 kung gayon ang gcd(a, b) = a dahil ang gcd(a, 0) = a at huminto ang algorithm.
Hatiin ang a sa b sa natitira (a = b ⋅ q + r)
Hanapin ang gcd(b, r) gamit ang algorithm ni Euclid dahil gcd(a, b) = gcd(b, r).

Upang ma-verify ang pagiging epektibo ng pamamaraan sa pagsasanay, isaalang-alang ang isang halimbawa.

Kinakailangan upang matukoy ang GCD ng mga numero 270 at 192.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Hatiin ang a sa b, makakakuha tayo ng:

270 / 192 = 1 (ang natitira ay 78).

Maaari mong isulat ang resulta bilang: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Susunod, kakalkulahin namin ang gcd (192, 78), dahil gcd (270, 192) = gcd (192, 78).

Ituloy natin.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Hatiin ang a sa b, makakakuha tayo ng:

192 / 78 = 2 (ang natitira ay 36).

Maaaring isulat bilang:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

Mag-compute ng gcd(78, 36) mula noong gcd(192, 78) = gcd(78, 36).

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Hatiin ang a sa b, makakakuha tayo ng:

78 / 36 = 2 (ang natitira ay 0).

Isulat natin ang resulta bilang:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Kalkulahin ang gcd(36, 6) dahil gcd(78, 36) = gcd(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Hatiin ang A sa B, makakakuha tayo ng 36 / 6 = 6 (ang natitira ay 0).

Isulat ang resulta sa sumusunod na form:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Susunod na makikita natin ang gcd(6, 0) dahil gcd(36, 6) = gcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Bilang resulta mayroon kaming:

gcd(6, 0) = 6.

Kaya, mayroon kaming sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

Bilang resulta, mayroon kaming sagot:

gcd(270, 192) = 6.

Ang bawat isa sa mga paraan ng paghahanap na tinalakay sa itaas ay may mga pakinabang at disadvantage nito. Ang unang paraan ay mahusay para sa pagtatrabaho sa medyo simpleng mga halimbawa, hindi katulad ng pangalawa, na maaaring magamit upang malutas ang mas kumplikadong mga problema sa matematika.