Bago magpatuloy sa kahulugan ng konsepto ng greatest common divisor (GCD), kailangang maunawaan kung ano ang common divisor sa pangkalahatan.
Alam na ang isang integer ay maaaring magkaroon ng maraming divisors. Interesado kami sa sabay-sabay na pag-access sa kanila ng ilang mga integer. Itinuturing namin ang karaniwang divisor ng ilang integer bilang ang numerong maaaring kumilos bilang divisor para sa bawat numero mula sa tinukoy na serye.
Halimbawa, ang mga numero 8 at 12 ay may mga sumusunod na karaniwang divisors: 1 at 4. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagsulat ng mga mathematical expression: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Dapat tandaan na ang bawat numero sa simula ay may hindi bababa sa dalawang karaniwang divisors: ang anumang numero ay nahahati sa sarili nito nang walang nalalabi, at nahahati din ng 1.
Pagtukoy sa Pinakamahusay na Common Divisor
Ang Greatest Common Divisor (GCD) ng dalawang natural na numero ay ang pinakamalaki sa mga natural na numero kung saan maaari nating hatiin ang dalawa sa ating mga numero. Kung ang halaga ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang natural na numero ay 1, kung gayon ang mga numerong ito ay tinatawag naming coprime.
Para sa dalawang numerong a at b, ang pinakamalaking karaniwang divisor ay ang bilang kung saan maaaring hatiin ang a at b nang walang natitira. Isinulat ang expression na ito tulad ng sumusunod: gcd (a, b) = c.
Isa pang paraan ng pagsulat ng GCD: (a, b) = c. Gayunpaman, sa karamihan ng mga kaso, ginagamit ang unang opsyon.
Kaya, halimbawa, ang mga numero 4 at 16 ay may pinakamalaking karaniwang divisor na katumbas ng 4. Isulat natin: gcd (4, 16) = 4.
Ilarawan natin kung paano tayo nakarating sa resultang ito:
- Isinulat namin ang lahat ng mga divisors ng numero 4. Nakakuha kami ng: 4, 2, 1.
- Susunod, pininturahan namin ang lahat ng divisors ng 16. Nakuha namin ang: 16, 8, 4, 2, 1.
- Pumili kami ng mga divisors na karaniwan para sa 4 at 16. Nakakuha kami ng: 4, 2, 1.
- Mula sa mga nagresultang karaniwang divisors, ang pinakamalaki ang napili. Ito ay 4.
- Nakuha namin ang sagot: para sa mga numero 4 at 16 GCD ay 4.
Katulad nito, mahahanap mo ang GCD para sa tatlo o higit pang integer. Sa kasong ito, ito ang magiging pinakamalaking integer kung saan maaari mong hatiin ang lahat ng numero mula sa iminungkahing serye.
Kaya, halimbawa, ang pinakamalaking divisor para sa mga integer na 6, 12, 18, 42 ay ang numero 6, ibig sabihin, gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Nakuha ang sagot gamit ang isang algorithm katulad ng inilarawan sa itaas - para sa mga numero mula sa isang serye, ang lahat ng mga divisor ay sunud-sunod na isinulat, pagkatapos ay pinili ang pinakamalaki sa kanila.
Mga GCD Property
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay may ilang mga katangian na magiging may-katuturan para sa GCD ng mga positive integer na may mga divisor na mas malaki sa zero.
Property 1
Mula sa pagpapalit ng mga lugar ng mga numero, hindi magbabago ang panghuling halaga ng GCD. Maaari mong isulat ang pahayag na ito tulad nito:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Property 2
Kung ang a ay nahahati ng b, ang hanay ng mga karaniwang divisors ng a at b ay kapareho ng set ng mga divisors ng b. Isinulat nang ganito:
- gcd(a, b) = b.
Maaaring gamitin ang napatunayang pinakamalaking divisor property para mahanap ang gcd ng dalawang numero kapag ang isa sa mga ito ay nahahati ng isa. Sa kasong ito, ang GCD ay katumbas ng isa sa mga numerong ito, kung saan ang isa pang numero ay nahahati.
Halimbawa:
- gcd(12, 4) = 4.
Katulad:
- gcd(10, 1) = 1.
Property 3
Kung ang a = bq + c, kung saan ang a, b, c at q ay mga integer, kung gayon ang hanay ng mga karaniwang divisors ng a at b ay kapareho ng set ng mga karaniwang divisors ng b at c.
Nagiging wasto ang pagkakapantay-pantay na gcd (a, b) = gcd (b, c).
Property 4
Ang expression na gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) ay totoo kung ang m ay anumang natural na numero.
Property 5
Sabihin nating ang p ay anumang karaniwang divisor ng a at b.
Pagkatapos:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Kung p = gcd(a, b), makakakuha tayo ng:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Kaya, ang mga numerong a / gcd (a, b) at b / gcd (a, b) ay coprime.
Property 6
Anumang dalawang numero ay may hindi bababa sa isang karaniwang divisor - ito ang numero 1.
Ang kaalaman sa mga teoretikal na pundasyon ng konsepto ng GCD, pati na rin ang mga praktikal na kasanayan sa kahulugan nito, ay kinakailangan upang gumana sa mga ordinaryong fraction. Bilang karagdagan, ang GCD ay malapit na nauugnay sa isa pang mathematical unit - ang hindi gaanong karaniwang divisor. Ang parehong kahulugan ay karaniwang pinag-aaralan bilang bahagi ng isang karaniwang kurikulum ng paaralan.
