En büyük ortak bölen (OBEB) kavramının tanımına geçmeden önce, genel olarak ortak bölenin ne olduğunu anlamak gerekir.
Bir tamsayının birden çok böleni olabileceği bilinmektedir. Birkaç tamsayı tarafından bunlara eşzamanlı erişimle ilgileniyoruz. Birkaç tam sayının ortak bölenini, belirtilen serideki her sayı için bölen görevi görebilecek sayı olarak kabul ediyoruz.
Örneğin, 8 ve 12 sayılarının şu ortak bölenleri vardır: 1 ve 4. Bu, matematiksel ifadeler yazılarak kolayca doğrulanabilir: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Her sayının başlangıçta en az iki ortak böleni olduğuna dikkat edilmelidir: herhangi bir sayı kendisine kalansız bölünebilir ve aynı zamanda 1'e de bölünebilir.
En Büyük Ortak Böleni Belirleme
İki doğal sayının En Büyük Ortak Böleni (OBEB), iki sayıyı bölebileceğimiz doğal sayıların en büyüğüdür. İki doğal sayının en büyük ortak böleninin değeri 1 ise bu sayılara aralarında asal denir.
a ve b sayıları için en büyük ortak bölen, a ve b'nin kalansız bölünebildiği sayıdır. Bu ifade şu şekilde yazılır: ebob (a, b) = c.
OBEB yazmanın başka bir yolu: (a, b) = c. Ancak çoğu durumda ilk seçenek kullanılır.
Örneğin, 4 ve 16 sayılarının en büyük ortak böleni 4'e eşittir. Şunu yazalım: ebob (4, 16) = 4.
Bu sonuca nasıl ulaştığımızı açıklayalım:
- 4 sayısının tüm bölenlerini yazdık. Şunu elde ettik: 4, 2, 1.
- Sonra, 16'nın tüm bölenlerini boyadık. Şunu elde ettik: 16, 8, 4, 2, 1.
- Hem 4 hem de 16 için ortak olan bölenleri seçtik. Şunu elde ettik: 4, 2, 1.
- Ortaya çıkan ortak bölenlerden en büyüğü seçildi. Bu 4.
- Yanıtı aldık: 4 ve 16 sayıları için OBEB 4'tür.
Benzer şekilde, üç veya daha fazla tamsayı için GCD'yi bulabilirsiniz. Bu durumda, önerilen dizideki tüm sayıları bölebileceğiniz en büyük tam sayı olacaktır.
Örneğin, 6, 12, 18, 42 tam sayıları için en büyük bölen 6 sayısı, yani ebob (6, 12, 18, 42) = 6 olacaktır. Cevap bir algoritma kullanılarak elde edildi yukarıda açıklanana benzer - bir dizideki sayılar için tüm bölenler sırayla yazıldı ve ardından en büyüğü seçildi.
GCD Mülkleri
En büyük ortak bölenin, bölenleri sıfırdan büyük olan pozitif tam sayıların EBOB'u ile alakalı olacak bir dizi özelliği vardır.
Mülk 1
Sayıların yerleri değiştirildiğinde, OBEB'in nihai değeri değişmeyecektir. Bu ifadeyi şu şekilde yazabilirsiniz:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Mülk 2
Eğer a, b'ye bölünebiliyorsa, a ve b'nin ortak bölenleri kümesi, b'nin bölenleri kümesiyle aynıdır. Şu şekilde yazılır:
- gcd(a, b) = b.
Kanıtlanmış en büyük bölen özelliği, biri diğerine bölünebilen iki sayının gcd'sini bulmak için kullanılabilir. Bu durumda, OBEB bu sayılardan birine eşittir ve başka bir sayı bölünebilir.
Örneğin:
- gcd(12, 4) = 4.
Benzer:
- gcd(10, 1) = 1.
Mülk 3
a = bq + c ise, burada a, b, c ve q tam sayılardır, o zaman a ve b'nin ortak bölenleri kümesi, b ve c'nin ortak bölenleri kümesiyle aynıdır.
gcd (a, b) = gcd (b, c) eşitliği geçerli olur.
Mülk 4
gcd(ma, mb) = m ⋅ ebob(a, b) ifadesi, m'nin herhangi bir doğal sayı olması koşuluyla doğrudur.
Mülk 5
p'nin a ve b'nin herhangi bir ortak böleni olduğunu varsayalım.
Sonra:
- gcd(a / p, b / p) = ebob(a, b) / p.
p = gcd(a, b) ise şunu elde ederiz:
- OBEB (a / OBEB (a, b), b / OBEB (a, b)) = 1,
Dolayısıyla a / gcd (a, b) ve b / gcd (a, b) sayıları eş asaldır.
Mülk 6
Herhangi iki sayının en az bir ortak böleni vardır - bu 1 sayısıdır.
Adi kesirlerle çalışmak için OBEB kavramının teorik temellerine ilişkin bilgi ve tanımına ilişkin pratik beceriler gereklidir. Ek olarak, OBEB, başka bir matematiksel birim olan en küçük ortak bölen ile yakından ilişkilidir. Her iki tanım da genellikle standart bir okul müfredatının parçası olarak incelenir.
