EBOB hesaplayıcısı

Diğer araçlar

Alan hesaplayıcı{$ ',' | translate $}
Çevre hesaplayıcı{$ ',' | translate $}
Hacim hesaplayıcısı{$ ',' | translate $}
Çarpım tablosu{$ ',' | translate $}
Periyodik tablo{$ ',' | translate $}
Matris hesaplayıcısı{$ ',' | translate $}
EKOK hesaplayıcısı{$ ',' | translate $}
Trigonometri hesaplayıcı{$ ',' | translate $}

En büyük ortak bölen hesaplayıcısı

En büyük ortak bölen (OBEB) kavramının tanımına geçmeden önce, genel olarak ortak bölenin ne olduğunu anlamak gerekir.

Bir tamsayının birden çok böleni olabileceği bilinmektedir. Birkaç tamsayı tarafından bunlara eşzamanlı erişimle ilgileniyoruz. Birkaç tam sayının ortak bölenini, belirtilen serideki her sayı için bölen görevi görebilecek sayı olarak kabul ediyoruz.

Örneğin, 8 ve 12 sayılarının şu ortak bölenleri vardır: 1 ve 4. Bu, matematiksel ifadeler yazılarak kolayca doğrulanabilir: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Her sayının başlangıçta en az iki ortak böleni olduğuna dikkat edilmelidir: herhangi bir sayı kendisine kalansız bölünebilir ve aynı zamanda 1'e de bölünebilir.

En Büyük Ortak Böleni Belirleme

İki doğal sayının En Büyük Ortak Böleni (OBEB), iki sayıyı bölebileceğimiz doğal sayıların en büyüğüdür. İki doğal sayının en büyük ortak böleninin değeri 1 ise bu sayılara aralarında asal denir.

a ve b sayıları için en büyük ortak bölen, a ve b'nin kalansız bölünebildiği sayıdır. Bu ifade şu şekilde yazılır: ebob (a, b) = c.

OBEB yazmanın başka bir yolu: (a, b) = c. Ancak çoğu durumda ilk seçenek kullanılır.

Örneğin, 4 ve 16 sayılarının en büyük ortak böleni 4'e eşittir. Şunu yazalım: ebob (4, 16) = 4.

Bu sonuca nasıl ulaştığımızı açıklayalım:

4 sayısının tüm bölenlerini yazdık. Şunu elde ettik: 4, 2, 1.
Sonra, 16'nın tüm bölenlerini boyadık. Şunu elde ettik: 16, 8, 4, 2, 1.
Hem 4 hem de 16 için ortak olan bölenleri seçtik. Şunu elde ettik: 4, 2, 1.
Ortaya çıkan ortak bölenlerden en büyüğü seçildi. Bu 4.
Yanıtı aldık: 4 ve 16 sayıları için OBEB 4'tür.

Benzer şekilde, üç veya daha fazla tamsayı için GCD'yi bulabilirsiniz. Bu durumda, önerilen dizideki tüm sayıları bölebileceğiniz en büyük tam sayı olacaktır.

Örneğin, 6, 12, 18, 42 tam sayıları için en büyük bölen 6 sayısı, yani ebob (6, 12, 18, 42) = 6 olacaktır. Cevap bir algoritma kullanılarak elde edildi yukarıda açıklanana benzer - bir dizideki sayılar için tüm bölenler sırayla yazıldı ve ardından en büyüğü seçildi.

GCD Mülkleri

En büyük ortak bölenin, bölenleri sıfırdan büyük olan pozitif tam sayıların EBOB'u ile alakalı olacak bir dizi özelliği vardır.

Mülk 1

Sayıların yerleri değiştirildiğinde, OBEB'in nihai değeri değişmeyecektir. Bu ifadeyi şu şekilde yazabilirsiniz:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Mülk 2

Eğer a, b'ye bölünebiliyorsa, a ve b'nin ortak bölenleri kümesi, b'nin bölenleri kümesiyle aynıdır. Şu şekilde yazılır:

gcd(a, b) = b.

Kanıtlanmış en büyük bölen özelliği, biri diğerine bölünebilen iki sayının gcd'sini bulmak için kullanılabilir. Bu durumda, OBEB bu sayılardan birine eşittir ve başka bir sayı bölünebilir.

Örneğin:

gcd(12, 4) = 4.

Benzer:

gcd(10, 1) = 1.

Mülk 3

a = bq + c ise, burada a, b, c ve q tam sayılardır, o zaman a ve b'nin ortak bölenleri kümesi, b ve c'nin ortak bölenleri kümesiyle aynıdır.

gcd (a, b) = gcd (b, c) eşitliği geçerli olur.

Mülk 4

gcd(ma, mb) = m ⋅ ebob(a, b) ifadesi, m'nin herhangi bir doğal sayı olması koşuluyla doğrudur.

Mülk 5

p'nin a ve b'nin herhangi bir ortak böleni olduğunu varsayalım.

Sonra:

gcd(a / p, b / p) = ebob(a, b) / p.

p = gcd(a, b) ise şunu elde ederiz:

OBEB (a / OBEB (a, b), b / OBEB (a, b)) = 1,

Dolayısıyla a / gcd (a, b) ve b / gcd (a, b) sayıları eş asaldır.

Mülk 6

Herhangi iki sayının en az bir ortak böleni vardır - bu 1 sayısıdır.

Adi kesirlerle çalışmak için OBEB kavramının teorik temellerine ilişkin bilgi ve tanımına ilişkin pratik beceriler gereklidir. Ek olarak, OBEB, başka bir matematiksel birim olan en küçük ortak bölen ile yakından ilişkilidir. Her iki tanım da genellikle standart bir okul müfredatının parçası olarak incelenir.

En büyük ortak bölen nasıl bulunur

En büyük ortak böleni (gcd) bulmak oldukça popüler bir görevdir. Bu eylem, sıradan kesirlerin göründüğü hesaplamaları yapmamıza yardımcı olur.

GCD bulma yöntemleri

En büyük ortak böleni bulmanın birkaç püf noktası vardır. Bunların en popülerlerini ele alacağız.

Sayıların asal çarpanlara ayrıştırılmasıyla EBOB'u bulma

Bu yöntem, matematik problemlerini çözmede en sık kullanılan yöntemlerden biridir.

Asal faktörlere ayırma ile GCD'yi belirleme algoritması aşağıdaki adımlardan oluşur:

Sayıları asal çarpanlar olarak temsil ediyoruz. Örneğin, 20 sayısı 2 ⋅ 2 ⋅ 5'in çarpımı olarak gösterilebilir.
Her iki genişletmede de yer alacak faktörleri seçin.
Bu faktörlerin çarpımını bulun.

Bu algoritmanın pratikte uygulanmasına ilişkin birkaç örneği ele alalım:

12 ve 8 sayılarının GCD'sini belirleyin.

12 ve 8'i asal çarpanlara ayırın:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Her iki genişletmede de hangi faktörlerin mevcut olduğuna bakıyoruz. Bul: 2 ve 2.

Faktörleri çarpar ve şunu elde ederiz:

2 ⋅ 2 = 4.

Cevap: gcd (12, 8) = 4.

75 ve 150 sayılarının GCD'sini belirleyin.

Çözüm sırası önceki örneğe benzer.

75 ve 150'yi asal çarpanlar olarak gösterelim:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Her iki genişletmede de tekrarlanan faktörleri belirleyin: 3, 5 ve 5.

Elde edilen sayıları birbiriyle çarpıyoruz: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Cevap: gcd (75, 150) = 75.

9 ve 5 sayılarının GCD'sini belirleyin.

Bu örnek, çarpanı yalnızca 1 olabilen asal sayıları kullanır.

9 ve 5'i asal çarpanlarına ayırdığımızda, aynı çarpanlara sahip olmadıklarını göreceğiz:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Bu vakanın özel olduğu unutulmamalıdır. Bu tür sayılar eş asaldır ve ortak bölenleri birdir.

Öklid'in algoritması

Bu algoritma adını, onu ilk kez yazılarında ("Başlangıçlar"ın 7. ve 10. kitapları) tanımlayan eski Yunan matematikçi Öklid'den almıştır. Öklid'in bu algoritmanın yazarı olmadığı bilinmektedir. Yine de, günümüzde kullanılan en eski algoritmalardan biri olarak kabul edilir.

Öklid'in algoritması, iki pozitif sayının en büyük ortak bölenini hesaplamayı kolaylaştırır.

OBEB'yi (a, b) bulmak için bu algoritma şöyle görünür:

a = 0 ise gcd(a, b) = b çünkü gcd(0, b) = b ve algoritma durur.
Eğer b = 0 ise gcd(a, b) = a çünkü gcd(a, 0) = a ve algoritma durur.
a'yı b'ye kalanla bölün (a = b ⋅ q + r)
Gcd(a, b) = gcd(b, r) olduğu için Öklid'in algoritmasını kullanarak gcd(b, r)'yi bulun.

Uygulamada yöntemin etkinliğini doğrulamak için bir örnek düşünün.

270 ve 192 sayılarının OBEB'ini belirlemek gereklidir.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

a'yı b'ye bölersek şunu elde ederiz:

270 / 192 = 1 (kalan 78'dir).

Sonucu şu şekilde yazabilirsiniz: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Daha sonra, ebob'yi (192, 78) hesaplayacağız, çünkü ebob (270, 192) = ebob (192, 78)

Devam edelim.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

a'yı b'ye bölersek şunu elde ederiz:

192 / 78 = 2 (kalan 36'dır).

Şu şekilde yazılabilir:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

gcd(192, 78) = gcd(78, 36) olduğu için gcd(78, 36)'yı hesaplayın.

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

a'yı b'ye bölersek şunu elde ederiz:

78 / 36 = 2 (kalan 0'dır).

Sonucu şu şekilde yazalım:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

OBEB(36, 6)'yı hesaplayın çünkü OBEB(78, 36) = EBOB(36, 6)

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

A'yı B'ye bölersek 36 / 6 = 6 elde ederiz (kalan 0'dır).

Sonucu aşağıdaki biçimde yazın:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Daha sonra, ebob(36, 6) = ebob(6, 0) olduğundan, ebob(6, 0)'ı buluruz.

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Sonuç olarak:

gcd(6, 0) = 6.

Dolayısıyla, aşağıdaki hesaplama sırasına sahibiz:

ebeb(270, 192) = ebob(192, 78) = ebob(78, 36) = ebob(36, 6) = ebob(6, 0) = 6.

Sonuç olarak yanıtımız var:

gcd(270, 192) = 6.

Yukarıda tartışılan arama yöntemlerinin her birinin avantajları ve dezavantajları vardır. Daha karmaşık matematik problemlerini çözmek için kullanılabilen ikinci yöntemin aksine, ilk yöntem nispeten basit örneklerle çalışmak için harikadır.