Перш ніж перейти до визначення поняття найбільший спільний дільник (НОД), необхідно розібратися, що ж таке спільний дільник загалом.
Відомо, що ціле число може мати кілька дільників. Нас цікавить одночасне звернення до них кількох цілих чисел. Спільним дільником кількох цілих чисел ми вважаємо те число, яке може бути дільником для кожного числа із зазначеного ряду.
Приміром, числа 8 та 12 мають такі спільні дільники: 1 та 4. Це легко перевірити, записавши математичні вирази: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Слід зазначити, що кожне число спочатку має, як мінімум, два спільні дільники: будь-яке число ділиться без залишку на себе, а також ділиться на 1.
Визначення найбільшого спільного дільника
Найбільший спільний дільник (НДД) двох натуральних чисел — це найбільше з натуральних чисел, на яке ми можемо поділити націло два наші числа. Якщо значення найбільшого загального дільника двох натуральних чисел дорівнює 1, то ці цифри ми називаємо взаємно простими.
Допустимо, для двох чисел a та b найбільший спільний дільник — це число, на яке a та b можна розділити без залишку. Запис цього виразу здійснюється наступним чином: НОД (a, b) = c.
Інший варіант запису НОД: (a, b) = c. Однак у більшості випадків використовують перший варіант.
Так, наприклад, числа 4 і 16 мають найбільший спільний дільник, що дорівнює 4. Запишемо: НОД (4, 16) = 4.
Розпишемо, як ми дійшли цього результату:
- Виписали всі дільники числа 4. Отримали: 4, 2, 1.
- Далі розписали всі дільники 16. Отримали: 16, 8, 4, 2, 1.
- Вибрали дільники, які є спільними і для 4, і для 16. Отримали: 4, 2, 1.
- З одержаних спільних дільників обрали найбільший. Це 4.
- Отримуємо відповідь: для чисел 4 і 16 НОД дорівнює 4.
Подібним чином можна знайти НОД для трьох і більш цілих чисел. У цьому випадку їм буде найбільше ціле число, на яке ви зможете розділити всі числа із запропонованого ряду.
Так, наприклад, найбільшим дільником для цілих чисел 6, 12, 18, 42 буде число 6, тобто НОД (6, 12, 18, 42) = 6. Відповідь була отримана за допомогою алгоритму, аналогічного тому, що був описаний вище — для чисел із ряду послідовно виписувалися всі дільники, після чого вибиралися найбільші.
Властивості НОД
Найбільший спільний дільник має низку властивостей, які будуть актуальними для НОД позитивних цілих чисел з дільниками, що перевищують нульове значення.
Властивість 1
Від зміни місць чисел, підсумкове значення НОД не зміниться. Записати це твердження можна так:
- НОД (a, b) = НОД (b, a).
Властивість 2
Якщо а ділиться на b, то безліч спільних дільників чисел а і b збігаються з безліччю дільників числа b. Записується так:
- НОД (a, b) = b.
Доведену властивість найбільшого дільника можна використовувати, щоб знайти НОД двох чисел, коли одне з них ділиться на інше. При цьому НОД дорівнює одному з цих чисел, на яке ділиться інше число.
Наприклад:
- НД (12, 4) = 4.
Аналогічно:
- НД (10, 1) = 1.
Властивість 3
Якщо a = bq + c, де а, b, с і q — цілі числа, то безліч спільних дільників чисел а та b збігаються з безліччю загальних дільників чисел b і с.
Стає справедливою рівність НОД (a, b) = НОД (b, c).
Властивість 4
Вираз НОД (mа, mb) = m ⋅ НОД (а, b) є вірним за умови, що m — будь-яке натуральне число.
Властивість 5
Припустимо, р — будь-який спільний дільник чисел а та b.
Тоді:
- НОД (а / p, b / p) = НОД (а, b) / p.
Якщо p = НОД (a, b), отримаємо:
- НОД (a / НОД (a, b), b / НОД (a, b)) = 1,
Таким чином, числа a / НОД (a, b) і b / НОД (a, b) є взаємно простими.
Властивість 6
Будь-які два числа мають хоча б один спільний дільник — це число 1.
Знання теоретичних основ поняття НОД, а також практичні навички його визначення необхідні для того, щоб працювати зі звичайними дробами. Крім того, НОД тісно пов'язаний з іншою математичною одиницею найменшим спільним дільником. Обидва визначення зазвичай вивчаються в рамках стандартного шкільного курсу навчання.
