عظیم مشترکہ تقسیم (GCD) کے تصور کی تعریف پر آگے بڑھنے سے پہلے، یہ سمجھنا ضروری ہے کہ عام تقسیم کنندہ کیا ہے۔
یہ معلوم ہے کہ ایک عدد میں متعدد تقسیم ہو سکتے ہیں۔ ہم ان تک متعدد عدد کے ساتھ بیک وقت رسائی میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ ہم متعدد عدد کے مشترک تقسیم کو وہ عدد سمجھتے ہیں جو مخصوص سیریز میں سے ہر ایک عدد کے لیے تقسیم کار کے طور پر کام کر سکتا ہے۔
مثال کے طور پر، نمبر 8 اور 12 میں درج ذیل مشترک تقسیم ہیں: 1 اور 4۔ اس کی آسانی سے ریاضی کے تاثرات لکھ کر تصدیق کی جا سکتی ہے: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4۔
واضح رہے کہ ہر عدد میں ابتدائی طور پر کم از کم دو مشترک تقسیم ہوتے ہیں: کوئی بھی عدد بذاتِ خود تقسیم ہوتا ہے اور 1 سے بھی تقسیم ہوتا ہے۔
عظیم ترین مشترکہ تقسیم کا تعین کرنا
دو قدرتی اعداد کا سب سے بڑا مشترکہ تقسیم (GCD) قدرتی اعداد میں سب سے بڑا ہے جس کے ذریعے ہم اپنے دو نمبروں کو تقسیم کر سکتے ہیں۔ اگر دو فطری اعداد کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کی قدر 1 ہے، تو ہم ان نمبروں کو coprime کہتے ہیں۔
دو نمبروں a اور b کے لیے، سب سے بڑا مشترک تقسیم وہ عدد ہے جس کے ذریعے a اور b کو بقیہ کے بغیر تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ یہ اظہار اس طرح لکھا گیا ہے: gcd (a, b) = c.
جی سی ڈی لکھنے کا ایک اور طریقہ: (a, b) = c۔ تاہم، زیادہ تر معاملات میں، پہلا آپشن استعمال کیا جاتا ہے۔
لہذا، مثال کے طور پر، نمبر 4 اور 16 میں سب سے بڑا مشترک تقسیم 4 کے برابر ہے۔ آئیے لکھتے ہیں: gcd (4, 16) = 4۔
آئیے بیان کرتے ہیں کہ ہم اس نتیجے پر کیسے پہنچے:
- ہم نے نمبر 4 کے تمام تقسیم لکھے۔ ہمیں ملا: 4، 2، 1۔
- اس کے بعد، ہم نے 16 کے تمام تقسیم کاروں کو پینٹ کیا۔ ہمیں ملا: 16، 8، 4، 2، 1۔
- ہم نے تقسیم کرنے والوں کا انتخاب کیا جو 4 اور 16 دونوں کے لیے مشترک ہیں۔ ہمیں ملا: 4، 2، 1۔
- نتیجے میں مشترکہ تقسیم کرنے والوں میں سے، سب سے بڑے کا انتخاب کیا گیا۔ یہ 4 ہے۔
- ہمیں جواب ملتا ہے: نمبر 4 اور 16 کے لیے GCD ہے 4۔
اسی طرح، آپ تین یا زیادہ عدد کے لیے GCD تلاش کر سکتے ہیں۔ اس صورت میں، یہ سب سے بڑا عدد ہوگا جس کے ذریعے آپ مجوزہ سیریز کے تمام نمبروں کو تقسیم کر سکتے ہیں۔
تو، مثال کے طور پر، عدد 6، 12، 18، 42 کا سب سے بڑا تقسیم نمبر 6 ہوگا، یعنی gcd (6, 12, 18, 42) = 6۔ جواب الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا گیا تھا۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے - ایک سیریز کے اعداد کے لیے، تمام تقسیم کار ترتیب وار لکھے گئے تھے، جس کے بعد ان میں سے سب سے بڑے کو منتخب کیا گیا تھا۔
GCD پراپرٹیز
عظیم ترین مشترکہ تقسیم میں متعدد خصوصیات ہیں جو صفر سے زیادہ تقسیم کے ساتھ مثبت عدد کے GCD کے لیے متعلقہ ہوں گی۔
پراپرٹی 1
نمبروں کی جگہوں کو تبدیل کرنے سے، GCD کی حتمی قدر تبدیل نہیں ہوگی۔ آپ اس بیان کو اس طرح لکھ سکتے ہیں:
- gcd(a, b) = gcd(b, a)۔
پراپرٹی 2
اگر a کو b سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، تو a اور b کے مشترکہ تقسیم کا مجموعہ b کے تقسیم کاروں کے سیٹ کے برابر ہے۔ اس طرح لکھا گیا:
- gcd(a, b) = b.
ثابت شدہ سب سے بڑی تقسیم کی خاصیت کو دو نمبروں کی gcd تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جب ان میں سے ایک دوسرے سے قابل تقسیم ہو۔ اس صورت میں، GCD ان نمبروں میں سے ایک کے برابر ہے، جس سے ایک اور عدد قابل تقسیم ہے۔
مثال کے طور پر:
- gcd(12, 4) = 4.
مماثل:
- gcd(10, 1) = 1.
پراپرٹی 3
اگر a = bq + c، جہاں a، b، c اور q انٹیجرز ہیں، تو a اور b کے مشترکہ تقسیم کا مجموعہ b اور c کے مشترکہ تقسیم کے سیٹ کے برابر ہے۔
مساوات gcd (a, b) = gcd (b, c) درست ہو جاتی ہے۔
پراپرٹی 4
اظہار gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) درست ہے بشرطیکہ m کوئی قدرتی نمبر ہو۔
پراپرٹی 5
آئیے کہتے ہیں کہ p a اور b کا کوئی بھی مشترک تقسیم ہے۔
پھر:
- gcd(a/p, b/p) = gcd(a, b) / p.
اگر p = gcd(a, b)، تو ہمیں ملتا ہے:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
اس طرح، نمبرز a / gcd (a, b) اور b / gcd (a, b) coprime ہیں۔
پراپرٹی 6
کسی بھی دو نمبروں میں کم از کم ایک مشترکہ تقسیم ہوتا ہے - یہ نمبر 1 ہے۔
جی سی ڈی تصور کی نظریاتی بنیادوں کا علم، نیز اس کی تعریف میں عملی مہارتیں، عام حصوں کے ساتھ کام کرنے کے لیے ضروری ہیں۔ اس کے علاوہ، GCD کا ایک اور ریاضیاتی اکائی سے گہرا تعلق ہے - کم سے کم عام تقسیم کرنے والا۔ دونوں تعریفوں کا مطالعہ عام طور پر اسکول کے معیاری نصاب کے حصے کے طور پر کیا جاتا ہے۔
