在继续定义最大公约数 (GCD) 的概念之前，有必要了解一般公约数是什么。
众所周知，一个整数可以有多个约数。 我们感兴趣的是通过几个整数同时访问它们。 我们将几个整数的公约数视为可以作为指定系列中每个数字的约数的数字。
例如，数字 8 和 12 有以下公约数：1 和 4。这可以很容易地通过编写数学表达式来验证：8 = 4 ⋅ 2； 12 = 3 ⋅ 4.
需要注意的是，每个数最初至少有两个公约数：任何数都可以被其本身无余数整除，也可以被1整除。
确定最大公约数
两个自然数的最大公约数 (GCD) 是我们可以除以两个数字的最大自然数。 如果两个自然数的最大公约数的值为 1，则称这两个自然数互质。
对于两个数 a 和 b，最大公约数是 a 和 b 可以除以无余数的数。 这个表达式写成：gcd(a, b) = c。
GCD的另一种写法：(a, b) = c。 但是，在大多数情况下，会使用第一个选项。
因此，例如，数字 4 和 16 的最大公约数等于 4。让我们写成：gcd (4, 16) = 4。
让我们描述一下我们是如何得出这个结果的：
- 我们写出了数字 4 的所有除数。我们得到：4、2、1。
- 接下来，我们绘制了 16 的所有除数。我们得到：16、8、4、2、1。
- 我们选择了 4 和 16 的共同除数。我们得到：4、2、1。
- 从生成的公约数中，选择最大的公约数。 这是 4。
- 我们得到答案：对于数字 4 和 16，GCD 为 4。
同样，您可以找到三个或更多整数的 GCD。 在这种情况下，它将是最大的整数，您可以将建议的系列中的所有数字除以该整数。
因此，例如，整数 6、12、18、42 的最大约数将是数字 6，即 gcd (6, 12, 18, 42) = 6。答案是使用算法得出的与上面描述的类似 - 对于系列中的数字，所有除数按顺序写出，然后选择其中最大的。
GCD 属性
最大公约数具有许多与除数大于零的正整数的 GCD 相关的属性。
属性 1
从数字换位来看，GCD的最终值不会改变。 你可以这样写这个语句：
- gcd(a, b) = gcd(b, a)。
属性 2
如果 a 可以被 b 整除，则 a 和 b 的公约数集合与 b 的公约数集合相同。 写成这样：
- gcd(a, b) = b.
已证明的最大除数属性可用于找到两个数字中的一个可以被另一个整除的 gcd。 在这种情况下，GCD 等于这些数字中的一个，另一个数字可以被它整除。
例如：
- gcd(12, 4) = 4。
类似的：
- gcd(10, 1) = 1。
属性 3
如果 a = bq + c，其中 a、b、c 和 q 是整数，则 a 和 b 的公约数集合与 b 和 c 的公约数集合相同。
等式 gcd (a, b) = gcd (b, c) 成立。
属性 4
如果 m 是任何自然数，则表达式 gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) 为真。
属性 5
假设 p 是 a 和 b 的公约数。
然后：
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p。
如果 p = gcd(a, b)，我们得到：
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
因此，数字 a / gcd (a, b) 和 b / gcd (a, b) 互质。
属性 6
任何两个数字至少有一个公约数 - 这就是数字 1。
要使用普通分数，必须了解 GCD 概念的理论基础及其定义的实践技能。 此外，GCD与另一个数学单位——最小公约数密切相关。 这两个定义通常作为标准学校课程的一部分进行研究。
