Ən böyük ortaq bölən (GCD) anlayışının tərifinə keçməzdən əvvəl ümumi bölənin nə olduğunu başa düşmək lazımdır.
Məlumdur ki, tam ədədin çoxsaylı bölənləri ola bilər. Biz onlara bir neçə tam ədədin eyni vaxtda daxil olmasında maraqlıyıq. Biz bir neçə tam ədədin ümumi bölənini müəyyən edilmiş seriyadan hər bir ədəd üçün bölən funksiyasını yerinə yetirə bilən ədəd hesab edirik.
Məsələn, 8 və 12 ədədlərinin aşağıdakı ümumi bölənləri var: 1 və 4. Bunu riyazi ifadələr yazmaqla asanlıqla yoxlamaq olar: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Qeyd etmək lazımdır ki, hər bir ədədin ilkin olaraq ən azı iki ümumi bölən var: istənilən ədəd qalıqsız özünə bölünür və 1-ə də bölünür.
Ən Böyük Ümumi Bölənin təyin edilməsi
İki natural ədədin Ən Böyük Ortaq Bölməsi (GCD) iki ədədimizi bölə biləcəyimiz natural ədədlərin ən böyüyüdür. Əgər iki natural ədədin ən böyük ortaq böləninin qiyməti 1-dirsə, biz bu ədədlərə çoxasal deyirik.
İki ədəd a və b üçün ən böyük ümumi bölən a və b-nin qalıqsız bölünə biləcəyi ədəddir. Bu ifadə aşağıdakı kimi yazılır: gcd (a, b) = c.
GCD yazmağın başqa yolu: (a, b) = c. Lakin əksər hallarda birinci variantdan istifadə edilir.
Məsələn, 4 və 16 ədədlərinin 4-ə bərabər ən böyük ortaq bölənləri var. Gəlin yazaq: gcd (4, 16) = 4.
Bu nəticəyə necə gəldiyimizi təsvir edək:
- 4 rəqəminin bütün bölənlərini yazdıq. Aldıq: 4, 2, 1.
- Sonra, 16-nın bütün bölənlərini rənglədik. Aldıq: 16, 8, 4, 2, 1.
- Həm 4, həm də 16 üçün ümumi olan bölənləri seçdik. Əldə etdik: 4, 2, 1.
- Nəticədə ortaq bölənlərdən ən böyüyü seçildi. Bu 4.
- Cavab alırıq: 4 və 16 nömrələri üçün GCD 4-dür.
Eyni şəkildə, siz üç və ya daha çox tam ədəd üçün GCD tapa bilərsiniz. Bu halda, təklif olunan seriyadan bütün ədədləri bölmək üçün ən böyük tam ədəd olacaq.
Beləliklə, məsələn, 6, 12, 18, 42 tam ədədləri üçün ən böyük bölən 6 rəqəmi olacaq, yəni gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Cavab alqoritmdən istifadə etməklə əldə edilib. yuxarıda təsvir edilənə bənzəyir - sıradan olan ədədlər üçün bütün bölənlər ardıcıl olaraq yazılır, bundan sonra onlardan ən böyüyü seçilir.
GCD xassələri
Ən böyük ümumi bölən, bölənləri sıfırdan böyük olan müsbət tam ədədlərin GCD-si üçün uyğun olacaq bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir.
Əmlak 1
Rəqəmlərin yerlərinin dəyişdirilməsindən GCD-nin yekun dəyəri dəyişməyəcək. Bu ifadəni belə yaza bilərsiniz:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Əmlak 2
Əgər a b-yə bölünürsə, onda a və b-nin ümumi bölənləri çoxluğu b-nin bölənləri çoxluğu ilə eynidir. Belə yazılmışdır:
- gcd(a, b) = b.
İki ədəddən biri digərinə bölünən zaman onun gcd-sini tapmaq üçün sübut edilmiş ən böyük bölən xassədən istifadə etmək olar. Bu halda, GCD başqa bir ədədin bölündüyü bu ədədlərdən birinə bərabərdir.
Məsələn:
- gcd(12, 4) = 4.
Oxşar:
- gcd(10, 1) = 1.
Əmlak 3
Əgər a = bq + c, burada a, b, c və q tam ədədlərdirsə, a və b-nin ortaq bölənləri çoxluğu b və c-nin ortaq bölənləri çoxluğu ilə eynidir.
gcd (a, b) = gcd (b, c) bərabərliyi etibarlı olur.
Əmlak 4
gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) ifadəsi doğrudur, bir şərtlə ki, m istənilən natural ədəddir.
Əmlak 5
Deyək ki, p a və b-nin istənilən ortaq bölənidir.
Sonra:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Əgər p = gcd(a, b), alırıq:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Beləliklə, a / gcd (a, b) və b / gcd (a, b) ədədləri üst-üstə düşür.
Əmlak 6
İstənilən iki ədədin ən azı bir ümumi bölməsi var - bu, 1 rəqəmidir.
Adi kəsrlərlə işləmək üçün GCD konsepsiyasının nəzəri əsaslarını bilmək, eləcə də onun tərifində praktiki bacarıqlar lazımdır. Bundan əlavə, GCD başqa bir riyazi vahidlə - ən az ümumi bölənlə sıx bağlıdır. Hər iki tərif adətən standart məktəb kurikulumunun bir hissəsi kimi öyrənilir.
