GCF kalkulyatoru

Sayta əlavə edin Metaməlumat {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Digər alətlər

Sahə kalkulyatoru{$ ',' | translate $} Perimetr kalkulyatoru{$ ',' | translate $} Həcm kalkulyatoru{$ ',' | translate $} Vurma cədvəli{$ ',' | translate $} Dövri cədvəl{$ ',' | translate $} Matrisa kalkulyatoru{$ ',' | translate $} LCM kalkulyatoru{$ ',' | translate $} Triqonometriya kalkulyatoru{$ ',' | translate $}

Ən böyük ümumi faktor kalkulyatoru

Ən böyük ortaq bölən (GCD) anlayışının tərifinə keçməzdən əvvəl ümumi bölənin nə olduğunu başa düşmək lazımdır.

Məlumdur ki, tam ədədin çoxsaylı bölənləri ola bilər. Biz onlara bir neçə tam ədədin eyni vaxtda daxil olmasında maraqlıyıq. Biz bir neçə tam ədədin ümumi bölənini müəyyən edilmiş seriyadan hər bir ədəd üçün bölən funksiyasını yerinə yetirə bilən ədəd hesab edirik.

Məsələn, 8 və 12 ədədlərinin aşağıdakı ümumi bölənləri var: 1 və 4. Bunu riyazi ifadələr yazmaqla asanlıqla yoxlamaq olar: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər bir ədədin ilkin olaraq ən azı iki ümumi bölən var: istənilən ədəd qalıqsız özünə bölünür və 1-ə də bölünür.

Ən Böyük Ümumi Bölənin təyin edilməsi

İki natural ədədin Ən Böyük Ortaq Bölməsi (GCD) iki ədədimizi bölə biləcəyimiz natural ədədlərin ən böyüyüdür. Əgər iki natural ədədin ən böyük ortaq böləninin qiyməti 1-dirsə, biz bu ədədlərə çoxasal deyirik.

İki ədəd a və b üçün ən böyük ümumi bölən a və b-nin qalıqsız bölünə biləcəyi ədəddir. Bu ifadə aşağıdakı kimi yazılır: gcd (a, b) = c.

GCD yazmağın başqa yolu: (a, b) = c. Lakin əksər hallarda birinci variantdan istifadə edilir.

Məsələn, 4 və 16 ədədlərinin 4-ə bərabər ən böyük ortaq bölənləri var. Gəlin yazaq: gcd (4, 16) = 4.

Bu nəticəyə necə gəldiyimizi təsvir edək:

4 rəqəminin bütün bölənlərini yazdıq. Aldıq: 4, 2, 1.
Sonra, 16-nın bütün bölənlərini rənglədik. Aldıq: 16, 8, 4, 2, 1.
Həm 4, həm də 16 üçün ümumi olan bölənləri seçdik. Əldə etdik: 4, 2, 1.
Nəticədə ortaq bölənlərdən ən böyüyü seçildi. Bu 4.
Cavab alırıq: 4 və 16 nömrələri üçün GCD 4-dür.

Eyni şəkildə, siz üç və ya daha çox tam ədəd üçün GCD tapa bilərsiniz. Bu halda, təklif olunan seriyadan bütün ədədləri bölmək üçün ən böyük tam ədəd olacaq.

Beləliklə, məsələn, 6, 12, 18, 42 tam ədədləri üçün ən böyük bölən 6 rəqəmi olacaq, yəni gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Cavab alqoritmdən istifadə etməklə əldə edilib. yuxarıda təsvir edilənə bənzəyir - sıradan olan ədədlər üçün bütün bölənlər ardıcıl olaraq yazılır, bundan sonra onlardan ən böyüyü seçilir.

GCD xassələri

Ən böyük ümumi bölən, bölənləri sıfırdan böyük olan müsbət tam ədədlərin GCD-si üçün uyğun olacaq bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir.

Əmlak 1

Rəqəmlərin yerlərinin dəyişdirilməsindən GCD-nin yekun dəyəri dəyişməyəcək. Bu ifadəni belə yaza bilərsiniz:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Əmlak 2

Əgər a b-yə bölünürsə, onda a və b-nin ümumi bölənləri çoxluğu b-nin bölənləri çoxluğu ilə eynidir. Belə yazılmışdır:

gcd(a, b) = b.

İki ədəddən biri digərinə bölünən zaman onun gcd-sini tapmaq üçün sübut edilmiş ən böyük bölən xassədən istifadə etmək olar. Bu halda, GCD başqa bir ədədin bölündüyü bu ədədlərdən birinə bərabərdir.

Məsələn:

gcd(12, 4) = 4.

Oxşar:

gcd(10, 1) = 1.

Əmlak 3

Əgər a = bq + c, burada a, b, c və q tam ədədlərdirsə, a və b-nin ortaq bölənləri çoxluğu b və c-nin ortaq bölənləri çoxluğu ilə eynidir.

gcd (a, b) = gcd (b, c) bərabərliyi etibarlı olur.

Əmlak 4

gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) ifadəsi doğrudur, bir şərtlə ki, m istənilən natural ədəddir.

Əmlak 5

Deyək ki, p a və b-nin istənilən ortaq bölənidir.

Sonra:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

Əgər p = gcd(a, b), alırıq:

gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

Beləliklə, a / gcd (a, b) və b / gcd (a, b) ədədləri üst-üstə düşür.

Əmlak 6

İstənilən iki ədədin ən azı bir ümumi bölməsi var - bu, 1 rəqəmidir.

Adi kəsrlərlə işləmək üçün GCD konsepsiyasının nəzəri əsaslarını bilmək, eləcə də onun tərifində praktiki bacarıqlar lazımdır. Bundan əlavə, GCD başqa bir riyazi vahidlə - ən az ümumi bölənlə sıx bağlıdır. Hər iki tərif adətən standart məktəb kurikulumunun bir hissəsi kimi öyrənilir.

Ən böyük ümumi çoxluğu necə tapmaq olar

Ən böyük ümumi bölücünün (gcd) tapılması kifayət qədər məşhur işdir. Bu hərəkət bizə adi fraksiyaların göründüyü hesablamalar aparmağa kömək edir.

GCD-nin tapılması üsulları

Ən böyük ümumi bölücünü tapmaq üçün bir neçə fənd var. Onlardan ən populyarını nəzərdən keçirəcəyik.

Ədədlərin əsas amillərə parçalanması ilə GCD-nin tapılması

Bu üsul riyazi məsələlərin həllində ən çox istifadə edilən üsullardan biridir.

Əsas amillərə parçalanma ilə GCD-nin müəyyən edilməsi alqoritmi aşağıdakı addımlardan ibarətdir:

Biz rəqəmləri əsas amillər kimi təqdim edirik. Məsələn, 20 rəqəmi 2 ⋅ 2 ⋅ 5-in hasili kimi göstərilə bilər.
Hər iki genişləndirmədə mövcud olacaq amilləri seçin.
Bu amillərin məhsulunu tapın.

Bu alqoritmin praktikada tətbiqinə dair bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək:

12 və 8 rəqəmlərinin GCD-ni təyin edin.

12 və 8-i əsas amillərə ayırın:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Hər iki genişləndirmədə hansı amillərin mövcud olduğuna baxırıq. Tapın: 2 və 2.

Biz faktorları çoxaldırıq və alırıq:

2 ⋅ 2 = 4.

Cavab: gcd (12, 8) = 4.

75 və 150 rəqəmlərinin GCD-ni təyin edin.

Həll ardıcıllığı əvvəlki nümunəyə bənzəyir.

75 və 150-ni əsas amillər kimi təqdim edək:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Hər iki genişləndirmədə təkrarlanan amilləri müəyyənləşdirin: 3, 5 və 5.

Nəticədə olan ədədləri birlikdə vururuq: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Cavab: gcd (75, 150) = 75.

9 və 5 rəqəmlərinin GCD-ni təyin edin.

Bu nümunə çarpanı yalnız 1 ola bilən sadə ədədlərdən istifadə edir.

9 və 5-i əsas amillərə ayırdıqda, onların eyni amillərə malik olmadığını görəcəyik:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Bu işin xüsusi olduğunu xatırlamaq lazımdır. Belə ədədlər ikiqatdır və onların ümumi bölənləri birdir.

Evklid alqoritmi

Bu alqoritm qədim yunan riyaziyyatçısı Evklidin şərəfinə adlandırılmışdır, o, bunu ilk dəfə öz yazılarında (“Başlanğıclar”ın 7-ci və 10-cu kitabları) təsvir etmişdir. Məlumdur ki, Evklid bu alqoritmin müəllifi deyildi. Buna baxmayaraq, bu gün istifadə edilən ən qədim alqoritmlərdən biri hesab olunur.

Evklidin alqoritmi iki müsbət ədədin ən böyük ümumi bölənini hesablamağı asanlaşdırır.

GCD (a, b) tapmaq üçün bu alqoritm belə görünür:

Əgər a = 0 olarsa, gcd(a, b) = b olar, çünki gcd(0, b) = b və alqoritm dayanır.
Əgər b = 0 olarsa, gcd(a, b) = a, çünki gcd(a, 0) = a və alqoritm dayanır.
a-nı qalıq ilə b-yə bölün (a = b ⋅ q + r)
Evklidin alqoritmindən istifadə edərək gcd(b, r) tapın, çünki gcd(a, b) = gcd(b, r).

Metodun effektivliyini praktikada yoxlamaq üçün bir nümunə nəzərdən keçirin.

270 və 192 rəqəmlərinin GCD-ni müəyyən etmək lazımdır.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

a-nı b-yə bölün, əldə edirik:

270 / 192 = 1 (qalan 78-dir).

Nəticəni belə yaza bilərsiniz: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Sonra, gcd (192, 78) hesablayacağıq, çünki gcd (270, 192) = gcd (192, 78).

Gəlin davam edək.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

a-nı b-yə bölün, əldə edirik:

192 / 78 = 2 (qalan 36-dır).

Belə yazıla bilər:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

gcd(192, 78) = gcd(78, 36) olduğundan gcd(78, 36) hesablayın.

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

a-nı b-yə bölün, əldə edirik:

78 / 36 = 2 (qalan 0-dır).

Nəticəni belə yazaq:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Gcd(36, 6) hesablayın, çünki gcd(78, 36) = gcd(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

A-nı B-yə bölün, 36 / 6 = 6 alırıq (qalan 0-dır).

Nəticəni aşağıdakı formada yazın:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Sonra gcd(6, 0) tapırıq, çünki gcd(36, 6) = gcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Nəticədə əldə etdik:

gcd(6, 0) = 6.

Beləliklə, biz aşağıdakı hesablamalar ardıcıllığına sahibik:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

Nəticədə cavabımız var:

gcd(270, 192) = 6.

Yuxarıda müzakirə edilən axtarış üsullarının hər birinin öz üstünlükləri və mənfi cəhətləri var. Birinci üsul nisbətən sadə nümunələrlə işləmək üçün əladır, ikincidən fərqli olaraq, daha mürəkkəb riyazi problemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.