Ennen kuin siirryt suurimman yhteisjakajan (GCD) käsitteen määrittelyyn, on ymmärrettävä, mikä yhteinen jakaja yleensä on.
On tunnettua, että kokonaisluvulla voi olla useita jakajia. Olemme kiinnostuneita useiden kokonaislukujen samanaikaisesta pääsystä niihin. Useiden kokonaislukujen yhteisenä jakajana pidetään lukua, joka voi toimia jakajana jokaiselle määritetyn sarjan numerolle.
Esimerkiksi luvuilla 8 ja 12 on seuraavat yhteiset jakajat: 1 ja 4. Tämä voidaan helposti varmistaa kirjoittamalla matemaattisia lausekkeita: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Huomaa, että jokaisella luvulla on aluksi vähintään kaksi yhteistä jakajaa: mikä tahansa luku on jaollinen itsellään ilman jäännöstä ja myös 1:llä.
Suurin yhteisen jakajan määrittäminen
Kahden luonnollisen luvun suurin yhteinen jakaja (GCD) on suurin luonnollisista luvuista, joilla voimme jakaa kaksi lukuamme. Jos kahden luonnollisen luvun suurimman yhteisen jakajan arvo on 1, kutsumme näitä lukuja koprimeiksi.
Kahdelle luvulle a ja b suurin yhteinen jakaja on luku, jolla a ja b voidaan jakaa ilman jäännöstä. Tämä lauseke kirjoitetaan seuraavasti: gcd (a, b) = c.
Toinen tapa kirjoittaa GCD: (a, b) = c. Useimmissa tapauksissa käytetään kuitenkin ensimmäistä vaihtoehtoa.
Joten esimerkiksi lukujen 4 ja 16 suurin yhteinen jakaja on 4. Kirjoitetaan: gcd (4, 16) = 4.
Kuvaillaan, miten päädyimme tähän tulokseen:
- Kirjoitimme kaikki luvun 4 jakajat. Saimme: 4, 2, 1.
- Seuraavaksi maalasimme kaikki luvun 16 jakajat. Saimme: 16, 8, 4, 2, 1.
- Valitsimme jakajat, jotka ovat yhteisiä sekä 4:lle että 16:lle. Saimme: 4, 2, 1.
- Saaduista yhteisistä jakajista valittiin suurin. Tämä on 4.
- Saamme vastauksen: numeroille 4 ja 16 GCD on 4.
Samalla tavalla voit löytää GCD:n kolmelle tai useammalle kokonaisluvulle. Tässä tapauksessa se on suurin kokonaisluku, jolla voit jakaa kaikki ehdotetun sarjan luvut.
Joten esimerkiksi kokonaislukujen 6, 12, 18, 42 suurin jakaja on luku 6, eli gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Vastaus saatiin algoritmin avulla. kuten yllä on kuvattu - sarjan numeroille kaikki jakajat kirjoitettiin peräkkäin, minkä jälkeen niistä valittiin suurin.
GCD-ominaisuudet
Suurin yhteisellä jakajalla on useita ominaisuuksia, jotka ovat merkityksellisiä positiivisten kokonaislukujen GCD:lle, joiden jakajat ovat suurempia kuin nolla.
Ominaisuus 1
GCD:n lopullinen arvo ei muutu numeroiden paikkojen vaihtamisesta. Voit kirjoittaa tämän lausunnon seuraavasti:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Ominaisuus 2
Jos a on jaollinen b:llä, a:n ja b:n yhteisten jakajien joukko on sama kuin b:n jakajien joukko. Kirjoitettu näin:
- gcd(a, b) = b.
Todistettua suurinta jakajaominaisuutta voidaan käyttää kahden luvun gcd:n löytämiseen, kun toinen niistä on jaollinen toisella. Tässä tapauksessa GCD on yhtä suuri kuin yksi näistä luvuista, jolla toinen luku on jaollinen.
Esimerkki:
- gcd(12, 4) = 4.
Samanlainen:
- gcd(10, 1) = 1.
Ominaisuus 3
Jos a = bq + c, missä a, b, c ja q ovat kokonaislukuja, a:n ja b:n yhteisten jakajien joukko on sama kuin b:n ja c:n yhteisten jakajien joukko.
Yhtälö gcd (a, b) = gcd (b, c) tulee voimaan.
Ominaisuus 4
Lauseke gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) on tosi, jos m on mikä tahansa luonnollinen luku.
Ominaisuus 5
Oletetaan, että p on mikä tahansa a:n ja b:n yhteinen jakaja.
Sitten:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Jos p = gcd(a, b), saamme:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Nuoret a / gcd (a, b) ja b / gcd (a, b) ovat siis koprime.
Ominaisuus 6
Kahdella luvulla on vähintään yksi yhteinen jakaja – tämä on luku 1.
GCD-konseptin teoreettisten perusteiden tuntemus sekä käytännön taidot sen määrittelyssä ovat välttämättömiä tavallisten murtolukujen kanssa työskentelyyn. Lisäksi GCD liittyy läheisesti toiseen matemaattiseen yksikköön - vähiten yhteiseen jakajaan. Molempia määritelmiä tutkitaan yleensä osana peruskoulun opetussuunnitelmaa.
