SYT-laskin

Lisää verkkosivustolle Metatieto {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Muut työkalut

Pinta-alalaskin{$ ',' | translate $} Ympärysmittalaskin{$ ',' | translate $} Tilavuuslaskin{$ ',' | translate $} Kertotaulu{$ ',' | translate $} Jaksollinen järjestelmä{$ ',' | translate $} Matriisilaskin{$ ',' | translate $} PYT-laskin{$ ',' | translate $} Trigonometrialaskin{$ ',' | translate $}

Suurimman yhteisen tekijän laskin

Ennen kuin siirryt suurimman yhteisjakajan (GCD) käsitteen määrittelyyn, on ymmärrettävä, mikä yhteinen jakaja yleensä on.

On tunnettua, että kokonaisluvulla voi olla useita jakajia. Olemme kiinnostuneita useiden kokonaislukujen samanaikaisesta pääsystä niihin. Useiden kokonaislukujen yhteisenä jakajana pidetään lukua, joka voi toimia jakajana jokaiselle määritetyn sarjan numerolle.

Esimerkiksi luvuilla 8 ja 12 on seuraavat yhteiset jakajat: 1 ja 4. Tämä voidaan helposti varmistaa kirjoittamalla matemaattisia lausekkeita: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Huomaa, että jokaisella luvulla on aluksi vähintään kaksi yhteistä jakajaa: mikä tahansa luku on jaollinen itsellään ilman jäännöstä ja myös 1:llä.

Suurin yhteisen jakajan määrittäminen

Kahden luonnollisen luvun suurin yhteinen jakaja (GCD) on suurin luonnollisista luvuista, joilla voimme jakaa kaksi lukuamme. Jos kahden luonnollisen luvun suurimman yhteisen jakajan arvo on 1, kutsumme näitä lukuja koprimeiksi.

Kahdelle luvulle a ja b suurin yhteinen jakaja on luku, jolla a ja b voidaan jakaa ilman jäännöstä. Tämä lauseke kirjoitetaan seuraavasti: gcd (a, b) = c.

Toinen tapa kirjoittaa GCD: (a, b) = c. Useimmissa tapauksissa käytetään kuitenkin ensimmäistä vaihtoehtoa.

Joten esimerkiksi lukujen 4 ja 16 suurin yhteinen jakaja on 4. Kirjoitetaan: gcd (4, 16) = 4.

Kuvaillaan, miten päädyimme tähän tulokseen:

Kirjoitimme kaikki luvun 4 jakajat. Saimme: 4, 2, 1.
Seuraavaksi maalasimme kaikki luvun 16 jakajat. Saimme: 16, 8, 4, 2, 1.
Valitsimme jakajat, jotka ovat yhteisiä sekä 4:lle että 16:lle. Saimme: 4, 2, 1.
Saaduista yhteisistä jakajista valittiin suurin. Tämä on 4.
Saamme vastauksen: numeroille 4 ja 16 GCD on 4.

Samalla tavalla voit löytää GCD:n kolmelle tai useammalle kokonaisluvulle. Tässä tapauksessa se on suurin kokonaisluku, jolla voit jakaa kaikki ehdotetun sarjan luvut.

Joten esimerkiksi kokonaislukujen 6, 12, 18, 42 suurin jakaja on luku 6, eli gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Vastaus saatiin algoritmin avulla. kuten yllä on kuvattu - sarjan numeroille kaikki jakajat kirjoitettiin peräkkäin, minkä jälkeen niistä valittiin suurin.

GCD-ominaisuudet

Suurin yhteisellä jakajalla on useita ominaisuuksia, jotka ovat merkityksellisiä positiivisten kokonaislukujen GCD:lle, joiden jakajat ovat suurempia kuin nolla.

Ominaisuus 1

GCD:n lopullinen arvo ei muutu numeroiden paikkojen vaihtamisesta. Voit kirjoittaa tämän lausunnon seuraavasti:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Ominaisuus 2

Jos a on jaollinen b:llä, a:n ja b:n yhteisten jakajien joukko on sama kuin b:n jakajien joukko. Kirjoitettu näin:

gcd(a, b) = b.

Todistettua suurinta jakajaominaisuutta voidaan käyttää kahden luvun gcd:n löytämiseen, kun toinen niistä on jaollinen toisella. Tässä tapauksessa GCD on yhtä suuri kuin yksi näistä luvuista, jolla toinen luku on jaollinen.

Esimerkki:

gcd(12, 4) = 4.

Samanlainen:

gcd(10, 1) = 1.

Ominaisuus 3

Jos a = bq + c, missä a, b, c ja q ovat kokonaislukuja, a:n ja b:n yhteisten jakajien joukko on sama kuin b:n ja c:n yhteisten jakajien joukko.

Yhtälö gcd (a, b) = gcd (b, c) tulee voimaan.

Ominaisuus 4

Lauseke gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) on tosi, jos m on mikä tahansa luonnollinen luku.

Ominaisuus 5

Oletetaan, että p on mikä tahansa a:n ja b:n yhteinen jakaja.

Sitten:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

Jos p = gcd(a, b), saamme:

gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

Nuoret a / gcd (a, b) ja b / gcd (a, b) ovat siis koprime.

Ominaisuus 6

Kahdella luvulla on vähintään yksi yhteinen jakaja – tämä on luku 1.

GCD-konseptin teoreettisten perusteiden tuntemus sekä käytännön taidot sen määrittelyssä ovat välttämättömiä tavallisten murtolukujen kanssa työskentelyyn. Lisäksi GCD liittyy läheisesti toiseen matemaattiseen yksikköön - vähiten yhteiseen jakajaan. Molempia määritelmiä tutkitaan yleensä osana peruskoulun opetussuunnitelmaa.

Miten määrittää suurin yhteinen tekijä

Suurin yhteisen jakajan (gcd) löytäminen on melko suosittu tehtävä. Tämä toiminto auttaa meitä suorittamaan laskelmia, joissa esiintyy tavallisia murtolukuja.

GCD:n löytämismenetelmät

Suurimman yhteisen jakajan löytämiseen on useita temppuja. Tarkastelemme niistä suosituimpia.

GCD:n löytäminen lukujen alkutekijöiksi hajottamalla

Tämä menetelmä on yksi useimmin käytetyistä matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa.

Algoritmi GCD:n määrittämiseksi alkutekijöihin jaottelulla koostuu seuraavista vaiheista:

Esitämme lukuja alkutekijöinä. Esimerkiksi luku 20 voidaan esittää tulona luvusta 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Valitse tekijät, jotka näkyvät molemmissa laajennuksissa.
Etsi näiden tekijöiden tulos.

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä tämän algoritmin soveltamisesta käytännössä:

Määritä numeroiden 12 ja 8 GCD.

Jaa 12 ja 8 alkutekijöiksi:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Katsomme, mitä tekijöitä molemmissa laajennuksissa on. Etsi: 2 ja 2.

Kertoamme tekijät ja saamme:

2 ⋅ 2 = 4.

Vastaus: gcd (12, 8) = 4.

Määritä lukujen 75 ja 150 GCD.

Ratkaisujärjestys on samanlainen kuin edellisessä esimerkissä.

Esitetään 75 ja 150 alkutekijöinä:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Määritä molemmissa laajennuksissa toistuvat tekijät: 3, 5 ja 5.

Kerromme saadut luvut yhteen: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Vastaus: gcd (75, 150) = 75.

Määritä lukujen 9 ja 5 GCD.

Tässä esimerkissä käytetään alkulukuja, joiden kerroin voi olla vain 1.

Kun lasketaan 9 ja 5 alkutekijöiksi, huomaamme, että niillä ei ole samoja kertoimia:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

On muistettava, että tämä tapaus on erityinen. Tällaiset luvut ovat yhteislukuja, ja niiden yhteinen jakaja on yksi.

Eukleideen algoritmi

Tämä algoritmi on nimetty antiikin kreikkalaisen matemaatikon Eukleideen mukaan, joka kuvaili sitä ensimmäisen kerran kirjoituksissaan ("Alkujen" 7. ja 10. kirja). Tiedetään, että Euclid ei ollut tämän algoritmin kirjoittaja. Siitä huolimatta sitä pidetään yhtenä vanhimmista nykyään käytössä olevista algoritmeista.

Eukleideen algoritmin avulla on helppo laskea kahden positiivisen luvun suurin yhteinen jakaja.

Löydäksesi GCD (a, b), tämä algoritmi näyttää tältä:

Jos a = 0, niin gcd(a, b) = b, koska gcd(0, b) = b ja algoritmi pysähtyy.
Jos b = 0, niin gcd(a, b) = a, koska gcd(a, 0) = a ja algoritmi pysähtyy.
Jaa a b:llä jäännöksellä (a = b ⋅ q + r)
Etsi gcd(b, r) Euklidin algoritmilla, koska gcd(a, b) = gcd(b, r).

Tarkistaaksesi menetelmän tehokkuuden käytännössä, harkitse esimerkkiä.

On tarpeen määrittää lukujen 270 ja 192 GCD.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Jaa a b:llä, saamme:

270 / 192 = 1 (jäännös on 78).

Voit kirjoittaa tuloksen muodossa: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Seuraavaksi lasketaan gcd (192, 78), koska gcd (270, 192) = gcd (192, 78).

Jatketaan.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Jaa a b:llä, saamme:

192 / 78 = 2 (jäännös on 36).

Voidaan kirjoittaa muodossa:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

Laske gcd(78, 36), koska gcd(192, 78) = gcd(78, 36).

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Jaa a b:llä, saamme:

78 / 36 = 2 (jäännös on 0).

Kirjoitetaan tulos seuraavasti:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Laske gcd(36, 6), koska gcd(78, 36) = gcd(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Jaa A B:llä, saadaan 36/6 = 6 (jäännös on 0).

Kirjoita tulos seuraavaan muotoon:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Seuraavaksi löydämme gcd(6, 0), koska gcd(36, 6) = gcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Tämän seurauksena meillä on:

gcd(6, 0) = 6.

Meillä on siis seuraava laskutoimitussarja:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

Tämän seurauksena meillä on vastaus:

gcd(270, 192) = 6.

Jokaisella yllä mainituista hakumenetelmistä on etunsa ja haittansa. Ensimmäinen menetelmä sopii erinomaisesti suhteellisen yksinkertaisten esimerkkien käsittelyyn, toisin kuin toinen menetelmä, jota voidaan käyttää monimutkaisempien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen.