GCF कैलकुलेटर

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सबसे बड़ा सामान्य कारक कैलकुलेटर

सबसे बड़ा सामान्य विभाजक (GCD) की अवधारणा की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि आम भाजक सामान्य रूप से क्या होता है।

यह ज्ञात है कि एक पूर्णांक में कई विभाजक हो सकते हैं। हम कई पूर्णांकों द्वारा एक साथ उन तक पहुँचने में रुचि रखते हैं। हम कई पूर्णांकों के सामान्य विभाजक को वह संख्या मानते हैं जो निर्दिष्ट श्रृंखला से प्रत्येक संख्या के लिए भाजक के रूप में कार्य कर सकती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 8 और 12 में निम्नलिखित सामान्य विभाजक हैं: 1 और 4। इसे गणितीय अभिव्यक्ति लिखकर आसानी से सत्यापित किया जा सकता है: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक संख्या में शुरू में कम से कम दो सामान्य विभाजक होते हैं: कोई भी संख्या शेष के बिना स्वयं से विभाज्य होती है, और 1 से भी विभाज्य होती है।

महानतम समापवर्तक का निर्धारण

दो प्राकृतिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) उन प्राकृतिक संख्याओं में सबसे बड़ा है जिससे हम अपनी दो संख्याओं को विभाजित कर सकते हैं। यदि दो प्राकृतिक संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक का मान 1 है, तो हम इन संख्याओं को कोप्राइम कहते हैं।

दो संख्याओं a और b के लिए, महत्तम समापवर्तक वह संख्या है जिससे a और b को बिना शेषफल के विभाजित किया जा सकता है। यह अभिव्यक्ति निम्नानुसार लिखी गई है: जीसीडी (ए, बी) = सी।

जीसीडी लिखने का दूसरा तरीका: (ए, बी) = सी। हालांकि, ज्यादातर मामलों में, पहला विकल्प इस्तेमाल किया जाता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 4 और 16 में 4 के बराबर सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। आइए लिखते हैं: gcd (4, 16) = 4।

आइए बताते हैं कि हम इस नतीजे पर कैसे पहुंचे:

हमने संख्या 4 के सभी विभाजकों को लिख दिया। हमें मिला: 4, 2, 1।
आगे, हमने 16 के सभी भाजकों को पेंट किया। हमें मिला: 16, 8, 4, 2, 1।
हमने ऐसे भाजक चुने जो 4 और 16 दोनों के लिए उभयनिष्ठ हैं। हमें मिला: 4, 2, 1।
परिणामी सामान्य भाजक से, सबसे बड़ा चुना गया था। यह 4 है।
हमें उत्तर मिलता है: संख्या 4 और 16 के लिए जीसीडी 4 है।

इसी तरह, आप तीन या अधिक पूर्णांकों के लिए जीसीडी पा सकते हैं। इस मामले में, यह सबसे बड़ा पूर्णांक होगा जिससे आप प्रस्तावित श्रृंखला से सभी संख्याओं को विभाजित कर सकते हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, पूर्णांक 6, 12, 18, 42 के लिए सबसे बड़ा भाजक संख्या 6 होगी, अर्थात, gcd (6, 12, 18, 42) = 6। उत्तर एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करके प्राप्त किया गया था। ऊपर वर्णित के समान - एक श्रृंखला से संख्याओं के लिए, सभी विभाजक क्रमिक रूप से लिखे गए थे, जिसके बाद उनमें से सबसे बड़े का चयन किया गया था।

जीसीडी गुण

सबसे बड़े सामान्य विभाजक में कई गुण होते हैं जो शून्य से अधिक विभाजक वाले धनात्मक पूर्णांकों के GCD के लिए प्रासंगिक होंगे।

प्रॉपर्टी 1

संख्याओं के स्थान बदलने से, GCD का अंतिम मान नहीं बदलेगा। आप इस कथन को इस प्रकार लिख सकते हैं:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

संपत्ति 2

यदि a, b से विभाज्य है, तो a और b के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय b के विभाजक के समुच्चय के समान है। इस तरह लिखा:

जीसीडी (ए, बी) = बी।

प्रूव्ड ग्रेटेस्ट डिवाइडर प्रॉपर्टी का इस्तेमाल दो नंबरों का जीसीडी खोजने के लिए किया जा सकता है, जब उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। इस मामले में, GCD इनमें से एक संख्या के बराबर है, जिससे दूसरी संख्या विभाज्य है।

उदाहरण के लिए:

gcd(12, 4) = 4.

समान:

gcd(10, 1) = 1.

संपत्ति 3

अगर a = bq + c, जहां a, b, c और q पूर्णांक हैं, तो a और b के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय b और c के उभयनिष्ठ भाजक के समुच्चय के समान है।

समानता gcd (a, b) = gcd (b, c) मान्य हो जाती है।

संपत्ति 4

अभिव्यक्ति gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) सत्य है, बशर्ते कि m कोई प्राकृत संख्या हो।

संपत्ति 5

मान लें कि p, a और b का कोई उभयनिष्ठ भाजक है।

फिर:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

अगर p = gcd(a, b), तो हमें मिलता है:

जीसीडी (ए / जीसीडी (ए, बी), बी / जीसीडी (ए, बी)) = 1,

इस प्रकार, संख्याएँ a / gcd (a, b) और b / gcd (a, b) सहअभाज्य हैं।

संपत्ति 6

किसी भी दो संख्याओं का कम से कम एक उभयनिष्ठ भाजक होता है - यह संख्या 1 है।

सामान्य अंशों के साथ काम करने के लिए GCD अवधारणा के सैद्धांतिक आधारों के साथ-साथ इसकी परिभाषा में व्यावहारिक कौशल का ज्ञान आवश्यक है। इसके अलावा, GCD एक अन्य गणितीय इकाई से निकटता से संबंधित है - सबसे कम सामान्य विभाजक। दोनों परिभाषाओं का आमतौर पर एक मानक स्कूल पाठ्यक्रम के भाग के रूप में अध्ययन किया जाता है।

महत्तम समापवर्तक कैसे निकालते हैं

सबसे बड़ा सामान्य विभाजक (gcd) खोजना एक काफी लोकप्रिय कार्य है। यह क्रिया हमें उन गणनाओं को पूरा करने में मदद करती है जिनमें साधारण अंश दिखाई देते हैं।

जीसीडी खोजने के तरीके

महानतम समापवर्तक को खोजने के लिए कई तरकीबें हैं। हम उनमें से सबसे लोकप्रिय पर विचार करेंगे।

अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन के साथ जीसीडी का पता लगाना

गणितीय समस्याओं को हल करने में यह विधि सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।

प्रमुख कारकों में अपघटन के साथ GCD का निर्धारण करने के लिए एल्गोरिथ्म में निम्नलिखित चरण होते हैं:

हम संख्याओं को प्रमुख कारकों के रूप में दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 20 को 2 ⋅ 2 ⋅ 5 के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है।
उन कारकों का चयन करें जो दोनों विस्तारों में मौजूद होंगे।
इन कारकों का गुणनफल ज्ञात करें।

आइए व्यवहार में इस एल्गोरिद्म के अनुप्रयोग के कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

संख्या 12 और 8 का जीसीडी निर्धारित करें।

12 और 8 को प्रमुख कारकों में विघटित करें:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2।

हम देखते हैं कि दोनों विस्तारों में कौन से कारक मौजूद हैं। ढूँढ़ें: 2 और 2।

हम कारकों को गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

2 ⋅ 2 = 4.

जवाब: जीसीडी (12, 8) = 4.

75 और 150 की संख्या का जीसीडी निर्धारित करें।

समाधान क्रम पिछले उदाहरण के समान है।

75 और 150 को प्रमुख कारकों के रूप में प्रस्तुत करते हैं:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

दोनों विस्तारों में दोहराए जाने वाले कारकों का निर्धारण करें: 3, 5 और 5।

हम परिणामी संख्याओं को एक साथ गुणा करते हैं: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75।

जवाब: जीसीडी (75, 150) = 75।

नंबर 9 और 5 का जीसीडी निर्धारित करें।

यह उदाहरण अभाज्य संख्याओं का उपयोग करता है जिनका गुणक केवल 1 हो सकता है।

9 और 5 को प्रमुख कारकों में विभाजित करते समय, हम देखेंगे कि उनके पास समान कारक नहीं हैं:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

यह याद रखना चाहिए कि यह मामला विशेष है। ऐसी संख्याएँ सहअभाज्य होती हैं, और उनका उभयनिष्ठ भाजक एक होता है।

यूक्लिड का एल्गोरिदम

इस एल्गोरिद्म का नाम प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने पहली बार अपने लेखन ("शुरुआत" की 7वीं और 10वीं किताबें) में इसका वर्णन किया था। यह ज्ञात है कि यूक्लिड इस एल्गोरिथम के लेखक नहीं थे। फिर भी, यह आज उपयोग में आने वाले सबसे पुराने एल्गोरिदम में से एक माना जाता है।

यूक्लिड का एल्गोरिदम दो सकारात्मक संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करना आसान बनाता है।

जीसीडी (ए, बी) खोजने के लिए, यह एल्गोरिथ्म इस तरह दिखता है:

अगर a = 0 तो gcd(a, b) = b क्योंकि gcd(0, b) = b और एल्गोरिथ्म रुक जाता है।
अगर b = 0 तो gcd(a, b) = a क्योंकि gcd(a, 0) = a और एल्गोरिथ्म रुक जाता है।
a को b से विभाजित करें और शेषफल (a = b ⋅ q + r)
यूक्लिड के एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी (बी, आर) खोजें क्योंकि जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (बी, आर)।

व्यवहार में विधि की प्रभावशीलता को सत्यापित करने के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें।

270 और 192 की संख्या का जीसीडी निर्धारित करना आवश्यक है।

a = 270, b = 192।
a ≠ 0.
बी ≠ 0.

a को b से विभाजित करने पर हमें यह मिलता है:

270 / 192 = 1 (शेष 78 है)।

परिणाम को आप इस तरह लिख सकते हैं: 270 = 192 ⋅ 1 + 78।

अगला, हम gcd (192, 78) की गणना करेंगे, क्योंकि gcd (270, 192) = gcd (192, 78)।

चलिए आगे बढ़ते हैं।

ए = 192, बी = 78।
a ≠ 0.
बी ≠ 0.

a को b से विभाजित करने पर हमें यह मिलता है:

192/78 = 2 (शेष 36 है)।

इस रूप में लिखा जा सकता है:

192 = 78 ⋅ 2 + 36।

जीसीडी (192, 78) = जीसीडी (78, 36) के बाद से जीसीडी (78, 36) की गणना करें।

ए = 78, बी = 36।
a ≠ 0.
बी ≠ 0.

a को b से विभाजित करने पर हमें यह मिलता है:

78 / 36 = 2 (शेष 0 है)।

परिणाम को इस रूप में लिखते हैं:

78 = 36 ⋅ 2 + 6।

gcd(36, 6) की गणना करें क्योंकि gcd(78, 36) = gcd(36, 6)।

ए = 36, बी = 6।
a ≠ 0.
बी ≠ 0.

A को B से भाग देने पर हमें 36/6 = 6 (शेषफल 0) मिलता है।

परिणाम को निम्न रूप में लिखें:

36 = 6 ⋅ 6 + 0।

अगला हम gcd(6, 0) पाते हैं क्योंकि gcd(36, 6) = gcd(6, 0)।

ए = 6, बी = 0।
a ≠ 0.
बी = 0.

परिणामस्वरूप हमारे पास:

gcd(6, 0) = 6.

इस प्रकार, हमारे पास गणनाओं का निम्नलिखित क्रम है:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

परिणामस्वरूप, हमारे पास उत्तर है:

gcd(270, 192) = 6.

उपर्युक्त खोज विधियों में से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं। पहला तरीका अपेक्षाकृत सरल उदाहरणों के साथ काम करने के लिए बढ़िया है, दूसरे के विपरीत, जिसका उपयोग अधिक जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।