Sebelum melanjutkan ke definisi konsep pembagi persekutuan terbesar (GCD), perlu dipahami apa itu pembagi persekutuan secara umum.
Diketahui bahwa bilangan bulat dapat memiliki banyak pembagi. Kami tertarik pada akses simultan ke beberapa bilangan bulat. Kami menganggap pembagi bersama dari beberapa bilangan bulat sebagai angka yang dapat bertindak sebagai pembagi untuk setiap angka dari deret yang ditentukan.
Misalnya, angka 8 dan 12 memiliki pembagi bersama berikut: 1 dan 4. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan menulis ekspresi matematika: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Perlu dicatat bahwa setiap angka pada awalnya memiliki setidaknya dua pembagi yang sama: angka apa pun dapat dibagi dengan sendirinya tanpa sisa, dan juga dapat dibagi dengan 1.
Menentukan Pembagi Persekutuan Terbesar
Pembagi Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan asli adalah bilangan asli terbesar yang dapat digunakan untuk membagi dua bilangan kita. Jika nilai pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan asli adalah 1, maka kita menyebut bilangan ini koprime.
Untuk dua bilangan a dan b, pembagi persekutuan terbesar adalah bilangan yang dapat membagi a dan b tanpa sisa. Ungkapan ini ditulis sebagai berikut: gcd (a, b) = c.
Cara lain untuk menulis GCD: (a, b) = c. Namun, dalam kebanyakan kasus, opsi pertama digunakan.
Jadi, misalnya, angka 4 dan 16 memiliki pembagi persekutuan terbesar sama dengan 4. Mari kita tulis: gcd (4, 16) = 4.
Mari kita uraikan bagaimana kita sampai pada hasil ini:
- Kita menulis semua pembagi dari angka 4. Kita mendapatkan: 4, 2, 1.
- Berikutnya, kita mengecat semua pembagi dari 16. Kita mendapatkan: 16, 8, 4, 2, 1.
- Kita memilih pembagi yang sama untuk 4 dan 16. Kita mendapatkan: 4, 2, 1.
- Dari pembagi bersama yang dihasilkan, yang terbesar dipilih. Ini adalah 4.
- Kami mendapatkan jawabannya: untuk angka 4 dan 16 GCD adalah 4.
Demikian pula, Anda dapat menemukan GCD untuk tiga bilangan bulat atau lebih. Dalam hal ini, ini akan menjadi bilangan bulat terbesar yang dapat digunakan untuk membagi semua angka dari deret yang diusulkan.
Jadi, misalnya, pembagi terbesar untuk bilangan bulat 6, 12, 18, 42 adalah angka 6, yaitu gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Jawabannya diperoleh dengan menggunakan algoritme mirip dengan yang dijelaskan di atas - untuk angka dari suatu deret, semua pembagi ditulis secara berurutan, setelah itu yang terbesar dipilih.
Properti GCD
Pembagi persekutuan terbesar memiliki sejumlah properti yang relevan untuk GCD bilangan bulat positif dengan pembagi lebih besar dari nol.
Properti 1
Dari perubahan tempat angka, nilai akhir GCD tidak akan berubah. Anda dapat menulis pernyataan ini seperti ini:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Properti 2
Jika a habis dibagi b, maka himpunan pembagi persekutuan dari a dan b sama dengan himpunan pembagi b. Ditulis seperti ini:
- gcd(a, b) = b.
Properti pembagi terbesar yang telah terbukti dapat digunakan untuk menemukan gcd dari dua angka ketika salah satunya habis dibagi oleh yang lain. Dalam hal ini, GCD sama dengan salah satu dari angka-angka ini, dimana angka lainnya dapat dibagi.
Misalnya:
- gcd(12, 4) = 4.
Serupa:
- gcd(10, 1) = 1.
Properti 3
Jika a = bq + c, dengan a, b, c, dan q adalah bilangan bulat, maka himpunan pembagi persekutuan dari a dan b sama dengan himpunan pembagi persekutuan dari b dan c.
Kesetaraan gcd (a, b) = gcd (b, c) menjadi valid.
Properti 4
Ungkapan gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) benar asalkan m bilangan asli.
Properti 5
Misalkan p adalah pembagi persekutuan dari a dan b.
Kemudian:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Jika p = gcd(a, b), kita mendapatkan:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Jadi, angka a / gcd (a, b) dan b / gcd (a, b) adalah koprime.
Properti 6
Setiap dua angka memiliki setidaknya satu pembagi yang sama - ini adalah angka 1.
Pengetahuan tentang landasan teoretis konsep GCD, serta keterampilan praktis dalam definisinya, diperlukan untuk bekerja dengan pecahan biasa. Selain itu, GCD terkait erat dengan unit matematika lain - pembagi persekutuan terkecil. Kedua definisi tersebut biasanya dipelajari sebagai bagian dari kurikulum sekolah standar.
