Kalkulator FPB

Tambahkan ke situs Metainformasi {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Alat lainnya

Kalkulator luas{$ ',' | translate $} Kalkulator keliling{$ ',' | translate $} Kalkulator volume{$ ',' | translate $} Tabel perkalian{$ ',' | translate $} Tabel periodik{$ ',' | translate $} Kalkulator matriks{$ ',' | translate $} Kalkulator KPK{$ ',' | translate $} Kalkulator trigonometri{$ ',' | translate $}

Kalkulator faktor persekutuan terbesar

Sebelum melanjutkan ke definisi konsep pembagi persekutuan terbesar (GCD), perlu dipahami apa itu pembagi persekutuan secara umum.

Diketahui bahwa bilangan bulat dapat memiliki banyak pembagi. Kami tertarik pada akses simultan ke beberapa bilangan bulat. Kami menganggap pembagi bersama dari beberapa bilangan bulat sebagai angka yang dapat bertindak sebagai pembagi untuk setiap angka dari deret yang ditentukan.

Misalnya, angka 8 dan 12 memiliki pembagi bersama berikut: 1 dan 4. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan menulis ekspresi matematika: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Perlu dicatat bahwa setiap angka pada awalnya memiliki setidaknya dua pembagi yang sama: angka apa pun dapat dibagi dengan sendirinya tanpa sisa, dan juga dapat dibagi dengan 1.

Menentukan Pembagi Persekutuan Terbesar

Pembagi Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan asli adalah bilangan asli terbesar yang dapat digunakan untuk membagi dua bilangan kita. Jika nilai pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan asli adalah 1, maka kita menyebut bilangan ini koprime.

Untuk dua bilangan a dan b, pembagi persekutuan terbesar adalah bilangan yang dapat membagi a dan b tanpa sisa. Ungkapan ini ditulis sebagai berikut: gcd (a, b) = c.

Cara lain untuk menulis GCD: (a, b) = c. Namun, dalam kebanyakan kasus, opsi pertama digunakan.

Jadi, misalnya, angka 4 dan 16 memiliki pembagi persekutuan terbesar sama dengan 4. Mari kita tulis: gcd (4, 16) = 4.

Mari kita uraikan bagaimana kita sampai pada hasil ini:

Kita menulis semua pembagi dari angka 4. Kita mendapatkan: 4, 2, 1.
Berikutnya, kita mengecat semua pembagi dari 16. Kita mendapatkan: 16, 8, 4, 2, 1.
Kita memilih pembagi yang sama untuk 4 dan 16. Kita mendapatkan: 4, 2, 1.
Dari pembagi bersama yang dihasilkan, yang terbesar dipilih. Ini adalah 4.
Kami mendapatkan jawabannya: untuk angka 4 dan 16 GCD adalah 4.

Demikian pula, Anda dapat menemukan GCD untuk tiga bilangan bulat atau lebih. Dalam hal ini, ini akan menjadi bilangan bulat terbesar yang dapat digunakan untuk membagi semua angka dari deret yang diusulkan.

Jadi, misalnya, pembagi terbesar untuk bilangan bulat 6, 12, 18, 42 adalah angka 6, yaitu gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Jawabannya diperoleh dengan menggunakan algoritme mirip dengan yang dijelaskan di atas - untuk angka dari suatu deret, semua pembagi ditulis secara berurutan, setelah itu yang terbesar dipilih.

Properti GCD

Pembagi persekutuan terbesar memiliki sejumlah properti yang relevan untuk GCD bilangan bulat positif dengan pembagi lebih besar dari nol.

Properti 1

Dari perubahan tempat angka, nilai akhir GCD tidak akan berubah. Anda dapat menulis pernyataan ini seperti ini:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Properti 2

Jika a habis dibagi b, maka himpunan pembagi persekutuan dari a dan b sama dengan himpunan pembagi b. Ditulis seperti ini:

gcd(a, b) = b.

Properti pembagi terbesar yang telah terbukti dapat digunakan untuk menemukan gcd dari dua angka ketika salah satunya habis dibagi oleh yang lain. Dalam hal ini, GCD sama dengan salah satu dari angka-angka ini, dimana angka lainnya dapat dibagi.

Misalnya:

gcd(12, 4) = 4.

Serupa:

gcd(10, 1) = 1.

Properti 3

Jika a = bq + c, dengan a, b, c, dan q adalah bilangan bulat, maka himpunan pembagi persekutuan dari a dan b sama dengan himpunan pembagi persekutuan dari b dan c.

Kesetaraan gcd (a, b) = gcd (b, c) menjadi valid.

Properti 4

Ungkapan gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) benar asalkan m bilangan asli.

Properti 5

Misalkan p adalah pembagi persekutuan dari a dan b.

Kemudian:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

Jika p = gcd(a, b), kita mendapatkan:

gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

Jadi, angka a / gcd (a, b) dan b / gcd (a, b) adalah koprime.

Properti 6

Setiap dua angka memiliki setidaknya satu pembagi yang sama - ini adalah angka 1.

Pengetahuan tentang landasan teoretis konsep GCD, serta keterampilan praktis dalam definisinya, diperlukan untuk bekerja dengan pecahan biasa. Selain itu, GCD terkait erat dengan unit matematika lain - pembagi persekutuan terkecil. Kedua definisi tersebut biasanya dipelajari sebagai bagian dari kurikulum sekolah standar.

Cara mencari faktor persekutuan terbesar

Menemukan pembagi persekutuan terbesar (gcd) adalah tugas yang cukup populer. Tindakan ini membantu kami melakukan perhitungan yang memunculkan pecahan biasa.

Metode untuk menemukan GCD

Ada beberapa trik untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar. Kami akan mempertimbangkan yang paling populer di antaranya.

Menemukan GCD dengan dekomposisi bilangan menjadi faktor prima

Metode ini adalah salah satu yang paling sering digunakan dalam memecahkan masalah matematika.

Algoritme untuk menentukan GCD dengan dekomposisi menjadi faktor prima terdiri dari langkah-langkah berikut:

Kami menyatakan angka sebagai faktor prima. Misalnya, angka 20 dapat direpresentasikan sebagai perkalian dari 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Pilih faktor yang akan ada di kedua perluasan.
Temukan hasil kali dari faktor-faktor ini.

Mari pertimbangkan beberapa contoh penerapan algoritme ini dalam praktik:

Tentukan GCD dari angka 12 dan 8.

Ubah 12 dan 8 menjadi faktor prima:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Kami melihat faktor apa saja yang ada di kedua ekspansi tersebut. Temukan: 2 dan 2.

Kita kalikan faktornya dan dapatkan:

2 ⋅ 2 = 4.

Jawaban: gcd (12, 8) = 4.

Tentukan GCD dari angka 75 dan 150.

Urutan solusi mirip dengan contoh sebelumnya.

Mari kita nyatakan 75 dan 150 sebagai faktor prima:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Tentukan faktor yang diulang di kedua perluasan: 3, 5, dan 5.

Kami mengalikan angka yang dihasilkan bersama-sama: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Jawaban: gcd (75, 150) = 75.

Tentukan GCD dari angka 9 dan 5.

Contoh ini menggunakan bilangan prima yang pengalinya hanya 1.

Saat memfaktorkan 9 dan 5 menjadi faktor prima, kita akan melihat bahwa keduanya tidak memiliki faktor yang sama:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Harus diingat bahwa kasus ini spesial. Bilangan tersebut adalah koprime, dan pembagi persekutuannya adalah satu.

algoritma Euclid

Algoritme ini dinamai dari ahli matematika Yunani kuno Euclid, yang pertama kali mendeskripsikannya dalam tulisannya (buku ke-7 dan ke-10 dari "Permulaan"). Diketahui bahwa Euclid bukanlah pembuat algoritma ini. Namun demikian, ini dianggap sebagai salah satu algoritme tertua yang digunakan saat ini.

Algoritme Euclid memudahkan untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan positif.

Untuk menemukan GCD (a,b), algoritme ini terlihat seperti ini:

Jika a = 0 maka gcd(a, b) = b karena gcd(0, b) = b dan algoritme berhenti.
Jika b = 0 maka gcd(a, b) = a karena gcd(a, 0) = a dan algoritme berhenti.
Membagi a dengan b dengan sisa (a = b ⋅ q + r)
Temukan gcd(b, r) menggunakan algoritme Euclid karena gcd(a, b) = gcd(b, r).

Untuk memverifikasi keefektifan metode ini dalam praktiknya, pertimbangkan sebuah contoh.

Hal ini diperlukan untuk menentukan GCD dari angka 270 dan 192.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Bagi a dengan b, kita dapatkan:

270 / 192 = 1 (sisanya 78).

Anda dapat menuliskan hasilnya sebagai: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

Berikutnya, kita akan menghitung gcd (192, 78), karena gcd (270, 192) = gcd (192, 78).

Mari kita lanjutkan.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Bagi a dengan b, kita dapatkan:

192 / 78 = 2 (sisanya 36).

Dapat ditulis sebagai:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

Hitung gcd(78, 36) karena gcd(192, 78) = gcd(78, 36).

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Bagi a dengan b, kita dapatkan:

78 / 36 = 2 (sisanya adalah 0).

Mari tulis hasilnya sebagai:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Hitung gcd(36, 6) karena gcd(78, 36) = gcd(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Bagi A dengan B, kita dapatkan 36/6 = 6 (sisanya 0).

Tulis hasilnya dalam bentuk berikut:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Berikutnya kita temukan gcd(6, 0) karena gcd(36, 6) = gcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Akibatnya, kami memiliki:

gcd(6, 0) = 6.

Jadi, kami memiliki urutan perhitungan berikut:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

Akibatnya, kami memiliki jawabannya:

gcd(270, 192) = 6.

Setiap metode pencarian yang dibahas di atas memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Metode pertama bagus untuk bekerja dengan contoh yang relatif sederhana, tidak seperti yang kedua, yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah matematika yang lebih kompleks.