Zanim przejdziemy do definicji pojęcia największego wspólnego dzielnika (NWD), konieczne jest ogólne zrozumienie, czym jest wspólny dzielnik.
Wiadomo, że liczba całkowita może mieć wiele dzielników. Interesuje nas jednoczesny dostęp do nich kilku liczb całkowitych. Za wspólny dzielnik kilku liczb całkowitych uważamy liczbę, która może działać jako dzielnik dla każdej liczby z określonego szeregu.
Na przykład liczby 8 i 12 mają następujące wspólne dzielniki: 1 i 4. Można to łatwo sprawdzić zapisując wyrażenia matematyczne: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Należy zauważyć, że każda liczba ma początkowo co najmniej dwa wspólne dzielniki: każda liczba jest podzielna przez samą siebie bez reszty, a także jest podzielna przez 1.
Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika
Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych to największa liczba naturalna, przez którą możemy podzielić dwie nasze liczby. Jeśli wartość największego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych wynosi 1, to liczby te nazywamy względnie pierwszymi.
Dla dwóch liczb aib największym wspólnym dzielnikiem jest liczba, przez którą aib można podzielić bez reszty. To wyrażenie jest zapisane w następujący sposób: gcd (a, b) = c.
Inny sposób zapisu NWD: (a, b) = c. Jednak w większości przypadków używana jest pierwsza opcja.
Na przykład liczby 4 i 16 mają największy wspólny dzielnik równy 4. Zapiszmy: gcd (4, 16) = 4.
Opiszmy, jak doszliśmy do tego wyniku:
- Wypisaliśmy wszystkie dzielniki liczby 4. Otrzymaliśmy: 4, 2, 1.
- Następnie pomalowaliśmy wszystkie dzielniki liczby 16. Otrzymaliśmy: 16, 8, 4, 2, 1.
- Wybraliśmy dzielniki wspólne dla 4 i 16. Otrzymaliśmy: 4, 2, 1.
- Z otrzymanych wspólnych dzielników wybrano największy. To jest 4.
- Otrzymujemy odpowiedź: dla liczb 4 i 16 NWD wynosi 4.
Podobnie możesz znaleźć NWD dla trzech lub więcej liczb całkowitych. W tym przypadku będzie to największa liczba całkowita, przez którą można podzielić wszystkie liczby z proponowanego szeregu.
Na przykład największym dzielnikiem liczb całkowitych 6, 12, 18, 42 będzie liczba 6, czyli gcd (6, 12, 18, 42) = 6. Odpowiedź uzyskano za pomocą algorytmu podobnie do tego, co zostało opisane powyżej – dla liczb z szeregu kolejno wypisano wszystkie dzielniki, po czym wybrano największy z nich.
Właściwości GCD
Największy wspólny dzielnik ma szereg właściwości, które będą istotne dla NWD dodatnich liczb całkowitych z dzielnikami większymi od zera.
Właściwość 1
Zmieniając miejsca liczb, ostateczna wartość NWD nie ulegnie zmianie. Możesz napisać to oświadczenie w ten sposób:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Właściwość 2
Jeśli a jest podzielne przez b, to zbiór wspólnych dzielników a i b jest taki sam jak zbiór dzielników b. Napisane w ten sposób:
- gcd(a, b) = b.
Udowodniona właściwość największego dzielnika może być wykorzystana do znalezienia gcd dwóch liczb, gdy jedna z nich jest podzielna przez drugą. W tym przypadku NWD jest równe jednej z tych liczb, przez którą inna liczba jest podzielna.
Na przykład:
- gcd(12, 4) = 4.
Podobne:
- gcd(10, 1) = 1.
Właściwość 3
Jeśli a = bq + c, gdzie a, b, c i q są liczbami całkowitymi, to zbiór wspólnych dzielników a i b jest taki sam jak zbiór wspólnych dzielników b i c.
Równość gcd (a, b) = gcd (b, c) staje się ważna.
Właściwość 4
Wyrażenie gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) jest prawdziwe pod warunkiem, że m jest dowolną liczbą naturalną.
Właściwość 5
Załóżmy, że p jest dowolnym wspólnym dzielnikiem a i b.
Następnie:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Jeśli p = gcd(a, b), otrzymujemy:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Tak więc liczby a / gcd (a, b) i b / gcd (a, b) są względnie pierwsze.
Właściwość 6
Dowolne dwie liczby mają co najmniej jeden wspólny dzielnik — jest to liczba 1.
Znajomość podstaw teoretycznych pojęcia NWD, a także praktyczna umiejętność jego definiowania są niezbędne do pracy z ułamkami zwykłymi. Ponadto NWD jest ściśle powiązany z inną jednostką matematyczną - najmniejszym wspólnym dzielnikiem. Obie definicje są zwykle studiowane w ramach standardowego programu szkolnego.
