Antes de passar para a definição do conceito de máximo divisor comum (MDC), é necessário entender o que é um divisor comum em geral.
Sabe-se que um número inteiro pode ter vários divisores. Estamos interessados no acesso simultâneo a eles por vários inteiros. Consideramos o divisor comum de vários números inteiros como o número que pode atuar como um divisor para cada número da série especificada.
Por exemplo, os números 8 e 12 têm os seguintes divisores comuns: 1 e 4. Isso pode ser facilmente verificado escrevendo expressões matemáticas: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Deve-se notar que cada número inicialmente tem pelo menos dois divisores comuns: qualquer número é divisível por si mesmo sem resto e também é divisível por 1.
Como determinar o máximo divisor comum
O Máximo Divisor Comum (MDC) de dois números naturais é o maior dos números naturais pelo qual podemos dividir dois de nossos números. Se o valor do máximo divisor comum de dois números naturais for 1, então chamamos esses números de primos.
Para dois números a e b, o máximo divisor comum é o número pelo qual a e b podem ser divididos sem deixar resto. Esta expressão é escrita da seguinte forma: gcd (a, b) = c.
Outra forma de escrever MDC: (a, b) = c. No entanto, na maioria dos casos, a primeira opção é usada.
Assim, por exemplo, os números 4 e 16 têm o máximo divisor comum igual a 4. Vamos escrever: mdc (4, 16) = 4.
Vamos descrever como chegamos a esse resultado:
- Escrevemos todos os divisores do número 4. Obtivemos: 4, 2, 1.
- Em seguida, pintamos todos os divisores de 16. Obtivemos: 16, 8, 4, 2, 1.
- Escolhemos divisores comuns para 4 e 16. Obtivemos: 4, 2, 1.
- Dos divisores comuns resultantes, o maior foi escolhido. Isso é 4.
- Temos a resposta: para os números 4 e 16, GCD é 4.
Da mesma forma, você pode encontrar o GCD para três ou mais inteiros. Nesse caso, será o maior número inteiro pelo qual você pode dividir todos os números da série proposta.
Assim, por exemplo, o maior divisor para os inteiros 6, 12, 18, 42 será o número 6, ou seja, mdc (6, 12, 18, 42) = 6. A resposta foi obtida por meio de um algoritmo semelhante ao descrito acima - para números de uma série, todos os divisores foram escritos sequencialmente, após o que o maior deles foi selecionado.
Propriedades GCD
O máximo divisor comum tem várias propriedades que serão relevantes para MDC de inteiros positivos com divisores maiores que zero.
Propriedade 1
Depois de mudar de lugar de números, o valor final de GCD não mudará. Você pode escrever esta declaração assim:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Propriedade 2
Se a é divisível por b, então o conjunto de divisores comuns de aeb é o mesmo que o conjunto de divisores de b. Escrito assim:
- gcd(a, b) = b.
A propriedade comprovada do máximo divisor pode ser usada para encontrar o mdc de dois números quando um deles é divisível pelo outro. Nesse caso, o MDC é igual a um desses números, pelo qual outro número é divisível.
Por exemplo:
- gcd(12, 4) = 4.
Semelhante:
- gcd(10, 1) = 1.
Propriedade 3
Se a = bq + c, onde a, b, c e q são inteiros, então o conjunto de divisores comuns de a e b é o mesmo que o conjunto de divisores comuns de b e c.
A igualdade mdc (a, b) = mdc (b, c) torna-se válida.
Propriedade 4
A expressão gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) é verdadeira, desde que m seja qualquer número natural.
Propriedade 5
Digamos que p é qualquer divisor comum de a e b.
Então:
- gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.
Se p = mdc(a, b), obtemos:
- gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,
Assim, os números a / mdc (a, b) e b / mdc (a, b) são primos primos.
Propriedade 6
Quaisquer dois números têm pelo menos um divisor comum - este é o número 1.
O conhecimento dos fundamentos teóricos do conceito GCD, bem como habilidades práticas em sua definição, são necessários para trabalhar com frações ordinárias. Além disso, o GCD está intimamente relacionado a outra unidade matemática - o mínimo divisor comum. Ambas as definições são geralmente estudadas como parte de um currículo escolar padrão.
