Calculadora de MDC

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Calculadora de máximo divisor comum

Antes de passar para a definição do conceito de máximo divisor comum (MDC), é necessário entender o que é um divisor comum em geral.

Sabe-se que um número inteiro pode ter vários divisores. Estamos interessados no acesso simultâneo a eles por vários inteiros. Consideramos o divisor comum de vários números inteiros como o número que pode atuar como um divisor para cada número da série especificada.

Por exemplo, os números 8 e 12 têm os seguintes divisores comuns: 1 e 4. Isso pode ser facilmente verificado escrevendo expressões matemáticas: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Deve-se notar que cada número inicialmente tem pelo menos dois divisores comuns: qualquer número é divisível por si mesmo sem resto e também é divisível por 1.

Como determinar o máximo divisor comum

O Máximo Divisor Comum (MDC) de dois números naturais é o maior dos números naturais pelo qual podemos dividir dois de nossos números. Se o valor do máximo divisor comum de dois números naturais for 1, então chamamos esses números de primos.

Para dois números a e b, o máximo divisor comum é o número pelo qual a e b podem ser divididos sem deixar resto. Esta expressão é escrita da seguinte forma: gcd (a, b) = c.

Outra forma de escrever MDC: (a, b) = c. No entanto, na maioria dos casos, a primeira opção é usada.

Assim, por exemplo, os números 4 e 16 têm o máximo divisor comum igual a 4. Vamos escrever: mdc (4, 16) = 4.

Vamos descrever como chegamos a esse resultado:

Escrevemos todos os divisores do número 4. Obtivemos: 4, 2, 1.
Em seguida, pintamos todos os divisores de 16. Obtivemos: 16, 8, 4, 2, 1.
Escolhemos divisores comuns para 4 e 16. Obtivemos: 4, 2, 1.
Dos divisores comuns resultantes, o maior foi escolhido. Isso é 4.
Temos a resposta: para os números 4 e 16, GCD é 4.

Da mesma forma, você pode encontrar o GCD para três ou mais inteiros. Nesse caso, será o maior número inteiro pelo qual você pode dividir todos os números da série proposta.

Assim, por exemplo, o maior divisor para os inteiros 6, 12, 18, 42 será o número 6, ou seja, mdc (6, 12, 18, 42) = 6. A resposta foi obtida por meio de um algoritmo semelhante ao descrito acima - para números de uma série, todos os divisores foram escritos sequencialmente, após o que o maior deles foi selecionado.

Propriedades GCD

O máximo divisor comum tem várias propriedades que serão relevantes para MDC de inteiros positivos com divisores maiores que zero.

Propriedade 1

Depois de mudar de lugar de números, o valor final de GCD não mudará. Você pode escrever esta declaração assim:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Propriedade 2

Se a é divisível por b, então o conjunto de divisores comuns de aeb é o mesmo que o conjunto de divisores de b. Escrito assim:

gcd(a, b) = b.

A propriedade comprovada do máximo divisor pode ser usada para encontrar o mdc de dois números quando um deles é divisível pelo outro. Nesse caso, o MDC é igual a um desses números, pelo qual outro número é divisível.

Por exemplo:

gcd(12, 4) = 4.

Semelhante:

gcd(10, 1) = 1.

Propriedade 3

Se a = bq + c, onde a, b, c e q são inteiros, então o conjunto de divisores comuns de a e b é o mesmo que o conjunto de divisores comuns de b e c.

A igualdade mdc (a, b) = mdc (b, c) torna-se válida.

Propriedade 4

A expressão gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) é verdadeira, desde que m seja qualquer número natural.

Propriedade 5

Digamos que p é qualquer divisor comum de a e b.

Então:

gcd(a / p, b / p) = gcd(a, b) / p.

Se p = mdc(a, b), obtemos:

gcd (a / gcd (a, b), b / gcd (a, b)) = 1,

Assim, os números a / mdc (a, b) e b / mdc (a, b) são primos primos.

Propriedade 6

Quaisquer dois números têm pelo menos um divisor comum - este é o número 1.

O conhecimento dos fundamentos teóricos do conceito GCD, bem como habilidades práticas em sua definição, são necessários para trabalhar com frações ordinárias. Além disso, o GCD está intimamente relacionado a outra unidade matemática - o mínimo divisor comum. Ambas as definições são geralmente estudadas como parte de um currículo escolar padrão.

Como descobrir o maior fator comum

Encontrar o máximo divisor comum (mdc) é uma tarefa bastante popular. Esta ação nos ajuda a realizar cálculos nos quais aparecem frações ordinárias.

Métodos para encontrar GCD

Existem vários truques para encontrar o máximo divisor comum. Vamos considerar o mais popular deles.

Encontrando o MDC com decomposição de números em fatores primos

Este método é um dos mais usados na resolução de problemas matemáticos.

O algoritmo para determinar o GCD com decomposição em fatores primos consiste nas seguintes etapas:

Representamos números como fatores primos. Por exemplo, o número 20 pode ser representado como um produto de 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Selecione os fatores que estarão presentes em ambas as expansões.
Encontre o produto desses fatores.

Vamos considerar alguns exemplos da aplicação deste algoritmo na prática:

Determine o MDC dos números 12 e 8.

Decomponha 12 e 8 em fatores primos:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Examinamos quais fatores estão presentes em ambas as expansões. Encontrar: 2 e 2.

Multiplicamos os fatores e obtemos:

2 ⋅ 2 = 4.

Resposta: mdc (12, 8) = 4.

Determine o GCD dos números 75 e 150.

A sequência da solução é semelhante ao exemplo anterior.

Vamos representar 75 e 150 como fatores primos:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Determine os fatores repetidos em ambas as expansões: 3, 5 e 5.

Multiplicamos os números resultantes: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Resposta: mdc (75, 150) = 75.

Determine o GCD dos números 9 e 5.

Este exemplo usa números primos cujo multiplicador só pode ser 1.

Ao fatorar 9 e 5 em fatores primos, veremos que eles não possuem os mesmos fatores:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

É preciso lembrar que este caso é especial. Esses números são coprimos e seu divisor comum é um.

Algoritmo de Euclides

Este algoritmo recebeu o nome do antigo matemático grego Euclides, que o descreveu pela primeira vez em seus escritos (7º e 10º livros dos "Inícios"). Sabe-se que Euclides não foi o autor desse algoritmo. No entanto, é considerado um dos algoritmos mais antigos em uso atualmente.

O algoritmo de Euclides facilita o cálculo do máximo divisor comum de dois números positivos.

Para encontrar GCD (a, b), este algoritmo se parece com isto:

Se a = 0 então gcd(a, b) = b porque gcd(0, b) = b e o algoritmo para.
Se b = 0 então mdc(a, b) = a porque mdc(a, 0) = a e o algoritmo para.
Divida a por b com resto (a = b ⋅ q + r)
Encontre gcd(b, r) usando o algoritmo de Euclides porque gcd(a, b) = gcd(b, r).

Para verificar a eficácia do método na prática, considere um exemplo.

É necessário determinar o GCD dos números 270 e 192.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Dividindo a por b, obtemos:

270 / 192 = 1 (o restante é 78).

Você pode escrever o resultado como: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

A seguir, calcularemos mdc (192, 78), pois mdc (270, 192) = mdc (192, 78).

Vamos em frente.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Dividindo a por b, obtemos:

192 / 78 = 2 (o restante é 36).

Pode ser escrito como:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

Calcule gcd(78, 36) desde gcd(192, 78) = gcd(78, 36).

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Dividindo a por b, obtemos:

78 / 36 = 2 (o restante é 0).

Vamos escrever o resultado como:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Calcule mdc(36, 6) desde mdc(78, 36) = mdc(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Dividindo A por B, obtemos 36 / 6 = 6 (o resto é 0).

Escreva o resultado da seguinte forma:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

Em seguida, encontramos gcd(6, 0) desde gcd(36, 6) = gcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Como resultado temos:

gcd(6, 0) = 6.

Assim, temos a seguinte sequência de cálculos:

gcd(270, 192) = gcd(192, 78) = gcd(78, 36) = gcd(36, 6) = gcd(6, 0) = 6.

Como resultado, temos a resposta:

gcd(270, 192) = 6.

Cada um dos métodos de pesquisa discutidos acima tem suas vantagens e desvantagens. O primeiro método é ótimo para trabalhar com exemplos relativamente simples, ao contrário do segundo, que pode ser usado para resolver problemas matemáticos mais complexos.