Înainte de a trece la definirea conceptului de cel mai mare divizor comun (GCD), este necesar să înțelegem ce este un divizor comun în general.
Se știe că un număr întreg poate avea mai mulți divizori. Ne interesează accesul simultan la ele de către mai multe numere întregi. Considerăm că divizorul comun al mai multor numere întregi este numărul care poate acționa ca divizor pentru fiecare număr din seria specificată.
De exemplu, numerele 8 și 12 au următorii divizori comuni: 1 și 4. Acest lucru poate fi ușor verificat prin scrierea expresiilor matematice: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.
Trebuie remarcat că fiecare număr are inițial cel puțin doi divizori comuni: orice număr este divizibil prin el însuși fără rest și este, de asemenea, divizibil cu 1.
Determinarea celui mai mare divizor comun
Cel mai mare divizor comun (MCD) a două numere naturale este cel mai mare dintre numerele naturale cu care putem împărți două dintre numerele noastre. Dacă valoarea celui mai mare divizor comun a două numere naturale este 1, atunci numim aceste numere coprime.
Pentru două numere a și b, cel mai mare divizor comun este numărul cu care a și b pot fi împărțiți fără rest. Această expresie se scrie astfel: mcd (a, b) = c.
O altă modalitate de a scrie GCD: (a, b) = c. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, se utilizează prima opțiune.
De exemplu, numerele 4 și 16 au cel mai mare divizor comun egal cu 4. Să scriem: mcd (4, 16) = 4.
Să descriem cum am ajuns la acest rezultat:
- Am scris toți divizorii numărului 4. Am primit: 4, 2, 1.
- În continuare, am pictat toți divizorii lui 16. Am primit: 16, 8, 4, 2, 1.
- Am ales divizori care sunt comuni atât pentru 4, cât și pentru 16. Am obținut: 4, 2, 1.
- Din divizorii comuni rezultați, a fost ales cel mai mare. Acesta este 4.
- Avem răspunsul: pentru numerele 4 și 16 GCD este 4.
În mod similar, puteți găsi GCD pentru trei sau mai multe numere întregi. În acest caz, va fi cel mai mare număr întreg cu care puteți împărți toate numerele din seria propusă.
Deci, de exemplu, cel mai mare divizor pentru numerele întregi 6, 12, 18, 42 va fi numărul 6, adică mcd (6, 12, 18, 42) = 6. Răspunsul a fost obținut folosind un algoritm similar cu ceea ce a fost descris mai sus - pentru numerele dintr-o serie, toți divizorii au fost înscriși succesiv, după care au fost selectați cei mai mari dintre ei.
Proprietăți GCD
Cel mai mare divizor comun are o serie de proprietăți care vor fi relevante pentru GCD de numere întregi pozitive cu divizori mai mari decât zero.
Proprietatea 1
Din schimbarea locurilor numerelor, valoarea finală a GCD nu se va modifica. Puteți scrie această declarație astfel:
- gcd(a, b) = gcd(b, a).
Proprietatea 2
Dacă a este divizibil cu b, atunci mulțimea divizorilor comuni ai lui a și b este aceeași cu mulțimea divizorilor lui b. Scris astfel:
- gcd(a, b) = b.
Proprietatea dovedită a celui mai mare divizor poate fi folosită pentru a găsi mcd a două numere atunci când unul dintre ele este divizibil cu celălalt. În acest caz, GCD este egal cu unul dintre aceste numere, cu care un alt număr este divizibil.
De exemplu:
- gcd(12, 4) = 4.
Asemănător:
- gcd(10, 1) = 1.
Proprietatea 3
Dacă a = bq + c, unde a, b, c și q sunt numere întregi, atunci mulțimea divizorilor comuni ai lui a și b este aceeași cu mulțimea divizorilor comuni ai lui b și c.
Egalitatea mcd (a, b) = mcd (b, c) devine valabilă.
Proprietatea 4
Expresia gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) este adevărată cu condiția ca m să fie orice număr natural.
Proprietatea 5
Să presupunem că p este orice divizor comun al lui a și b.
Atunci:
- gcd(a / p, b / p) = mcd(a, b) / p.
Dacă p = mcd(a, b), obținem:
- gcd (a / mcd (a, b), b / mcd (a, b)) = 1,
Astfel, numerele a / mcd (a, b) și b / mcd (a, b) sunt între prime.
Proprietatea 6
Orice două numere au cel puțin un divizor comun - acesta este numărul 1.
Cunoașterea fundamentelor teoretice ale conceptului GCD, precum și abilități practice în definirea acestuia, sunt necesare pentru a lucra cu fracții obișnuite. În plus, GCD este strâns legat de o altă unitate matematică - cel mai mic divizor comun. Ambele definiții sunt de obicei studiate ca parte a unui curriculum școlar standard.
