Calculator CMMDC

Adăugați pe site Metainformații {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Alte unelte

Calculator arie{$ ',' | translate $} Calculator perimetru{$ ',' | translate $} Calculator de volum{$ ',' | translate $} Tabla înmulțirii{$ ',' | translate $} Tabelul periodic{$ ',' | translate $} Calculator de matrice{$ ',' | translate $} Calculator CMMMC{$ ',' | translate $} Calculator de trigonometrie{$ ',' | translate $}

Calculator pentru cel mai mare divizor comun

Înainte de a trece la definirea conceptului de cel mai mare divizor comun (GCD), este necesar să înțelegem ce este un divizor comun în general.

Se știe că un număr întreg poate avea mai mulți divizori. Ne interesează accesul simultan la ele de către mai multe numere întregi. Considerăm că divizorul comun al mai multor numere întregi este numărul care poate acționa ca divizor pentru fiecare număr din seria specificată.

De exemplu, numerele 8 și 12 au următorii divizori comuni: 1 și 4. Acest lucru poate fi ușor verificat prin scrierea expresiilor matematice: 8 = 4 ⋅ 2; 12 = 3 ⋅ 4.

Trebuie remarcat că fiecare număr are inițial cel puțin doi divizori comuni: orice număr este divizibil prin el însuși fără rest și este, de asemenea, divizibil cu 1.

Determinarea celui mai mare divizor comun

Cel mai mare divizor comun (MCD) a două numere naturale este cel mai mare dintre numerele naturale cu care putem împărți două dintre numerele noastre. Dacă valoarea celui mai mare divizor comun a două numere naturale este 1, atunci numim aceste numere coprime.

Pentru două numere a și b, cel mai mare divizor comun este numărul cu care a și b pot fi împărțiți fără rest. Această expresie se scrie astfel: mcd (a, b) = c.

O altă modalitate de a scrie GCD: (a, b) = c. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, se utilizează prima opțiune.

De exemplu, numerele 4 și 16 au cel mai mare divizor comun egal cu 4. Să scriem: mcd (4, 16) = 4.

Să descriem cum am ajuns la acest rezultat:

Am scris toți divizorii numărului 4. Am primit: 4, 2, 1.
În continuare, am pictat toți divizorii lui 16. Am primit: 16, 8, 4, 2, 1.
Am ales divizori care sunt comuni atât pentru 4, cât și pentru 16. Am obținut: 4, 2, 1.
Din divizorii comuni rezultați, a fost ales cel mai mare. Acesta este 4.
Avem răspunsul: pentru numerele 4 și 16 GCD este 4.

În mod similar, puteți găsi GCD pentru trei sau mai multe numere întregi. În acest caz, va fi cel mai mare număr întreg cu care puteți împărți toate numerele din seria propusă.

Deci, de exemplu, cel mai mare divizor pentru numerele întregi 6, 12, 18, 42 va fi numărul 6, adică mcd (6, 12, 18, 42) = 6. Răspunsul a fost obținut folosind un algoritm similar cu ceea ce a fost descris mai sus - pentru numerele dintr-o serie, toți divizorii au fost înscriși succesiv, după care au fost selectați cei mai mari dintre ei.

Proprietăți GCD

Cel mai mare divizor comun are o serie de proprietăți care vor fi relevante pentru GCD de numere întregi pozitive cu divizori mai mari decât zero.

Proprietatea 1

Din schimbarea locurilor numerelor, valoarea finală a GCD nu se va modifica. Puteți scrie această declarație astfel:

gcd(a, b) = gcd(b, a).

Proprietatea 2

Dacă a este divizibil cu b, atunci mulțimea divizorilor comuni ai lui a și b este aceeași cu mulțimea divizorilor lui b. Scris astfel:

gcd(a, b) = b.

Proprietatea dovedită a celui mai mare divizor poate fi folosită pentru a găsi mcd a două numere atunci când unul dintre ele este divizibil cu celălalt. În acest caz, GCD este egal cu unul dintre aceste numere, cu care un alt număr este divizibil.

De exemplu:

gcd(12, 4) = 4.

Asemănător:

gcd(10, 1) = 1.

Proprietatea 3

Dacă a = bq + c, unde a, b, c și q sunt numere întregi, atunci mulțimea divizorilor comuni ai lui a și b este aceeași cu mulțimea divizorilor comuni ai lui b și c.

Egalitatea mcd (a, b) = mcd (b, c) devine valabilă.

Proprietatea 4

Expresia gcd(ma, mb) = m ⋅ gcd(a, b) este adevărată cu condiția ca m să fie orice număr natural.

Proprietatea 5

Să presupunem că p este orice divizor comun al lui a și b.

Atunci:

gcd(a / p, b / p) = mcd(a, b) / p.

Dacă p = mcd(a, b), obținem:

gcd (a / mcd (a, b), b / mcd (a, b)) = 1,

Astfel, numerele a / mcd (a, b) și b / mcd (a, b) sunt între prime.

Proprietatea 6

Orice două numere au cel puțin un divizor comun - acesta este numărul 1.

Cunoașterea fundamentelor teoretice ale conceptului GCD, precum și abilități practice în definirea acestuia, sunt necesare pentru a lucra cu fracții obișnuite. În plus, GCD este strâns legat de o altă unitate matematică - cel mai mic divizor comun. Ambele definiții sunt de obicei studiate ca parte a unui curriculum școlar standard.

Cum să găsești cel mai mare numitor comun

Găsirea celui mai mare divizor comun (mcd) este o sarcină destul de populară. Această acțiune ne ajută să efectuăm calcule în care apar fracții obișnuite.

Metode pentru găsirea GCD

Există mai multe trucuri pentru a găsi cel mai mare divizor comun. Vom considera cele mai populare dintre ele.

Găsirea GCD cu descompunerea numerelor în factori primi

Această metodă este una dintre cele mai frecvent utilizate în rezolvarea problemelor matematice.

Algoritmul pentru determinarea GCD cu descompunere în factori primi constă din următorii pași:

Reprezentăm numerele ca factori primi. De exemplu, numărul 20 poate fi reprezentat ca un produs al lui 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
Selectați factorii care vor fi prezenți în ambele expansiuni.
Găsiți produsul acestor factori.

Să luăm în considerare câteva exemple de aplicare a acestui algoritm în practică:

Determinați GCD-ul numerelor 12 și 8.

Descompuneți 12 și 8 în factori primi:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Ne uităm la ce factori sunt prezenți în ambele extinderi. Găsiți: 2 și 2.

Înmulțim factorii și obținem:

2 ⋅ 2 = 4.

Răspuns: mcd (12, 8) = 4.

Determină GCD-ul numerelor 75 și 150.

Secvența soluției este similară cu exemplul anterior.

Să reprezentăm 75 și 150 ca factori primi:

75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5.

Determină factorii repetați în ambele expansiuni: 3, 5 și 5.

Înmulțim împreună numerele rezultate: 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.

Răspuns: mcd (75, 150) = 75.

Determină GCD-ul numerelor 9 și 5.

Acest exemplu utilizează numere prime al căror multiplicator poate fi doar 1.

La factorizarea 9 și 5 în factori primi, vom vedea că aceștia nu au aceiași factori:

5 = 5.
9 = 3 ⋅ 3.

Trebuie să ne amintim că acest caz este special. Astfel de numere sunt coprime, iar divizorul lor comun este unu.

Algoritmul lui Euclid

Acest algoritm a fost numit după matematicianul grec antic Euclid, care l-a descris pentru prima dată în scrierile sale (cărțile a șaptea și a zecea ale „Începuturilor”). Se știe că Euclid nu a fost autorul acestui algoritm. Cu toate acestea, este considerat unul dintre cei mai vechi algoritmi utilizați astăzi.

Algoritmul lui Euclid facilitează calcularea celui mai mare divizor comun a două numere pozitive.

Pentru a găsi GCD (a, b), acest algoritm arată astfel:

Dacă a = 0, atunci gcd(a, b) = b deoarece gcd(0, b) = b și algoritmul se oprește.
Dacă b = 0, atunci gcd(a, b) = a deoarece gcd(a, 0) = a și algoritmul se oprește.
Împărțiți a la b cu rest (a = b ⋅ q + r)
Găsiți mcd(b, r) folosind algoritmul lui Euclid deoarece mcd(a, b) = mcd(b, r).

Pentru a verifica eficacitatea metodei în practică, luați în considerare un exemplu.

Este necesar să se determine GCD-ul numerelor 270 și 192.

a = 270, b = 192.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Împărțirea a la b, obținem:

270 / 192 = 1 (restul este 78).

Puteți scrie rezultatul ca: 270 = 192 ⋅ 1 + 78.

În continuare, vom calcula mcd (192, 78), deoarece mcd (270, 192) = mcd (192, 78).

Hai să mergem mai departe.

a = 192, b = 78.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Împărțirea a la b, obținem:

192 / 78 = 2 (restul este 36).

Poate fi scris ca:

192 = 78 ⋅ 2 + 36.

Calculează mcd(78, 36) deoarece mcd(192, 78) = mcd(78, 36).

a = 78, b = 36.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Împărțirea a la b, obținem:

78 / 36 = 2 (restul este 0).

Să scriem rezultatul ca:

78 = 36 ⋅ 2 + 6.

Calculați mcd(36, 6) deoarece mcd(78, 36) = mcd(36, 6).

a = 36, b = 6.
a ≠ 0.
b ≠ 0.

Împărțirea A la B, obținem 36 / 6 = 6 (restul este 0).

Scrieți rezultatul în următoarea formă:

36 = 6 ⋅ 6 + 0.

În continuare găsim mcd(6, 0) deoarece mcd(36, 6) = mcd(6, 0).

a = 6, b = 0.
a ≠ 0.
b = 0.

Ca urmare, avem:

gcd(6, 0) = 6.

Astfel, avem următoarea succesiune de calcule:

mcd(270, 192) = mcd(192, 78) = mcd(78, 36) = mcd(36, 6) = mcd(6, 0) = 6.

Ca urmare, avem răspunsul:

gcd(270, 192) = 6.

Fiecare dintre metodele de căutare discutate mai sus are avantajele și dezavantajele sale. Prima metodă este excelentă pentru a lucra cu exemple relativ simple, spre deosebire de a doua, care poate fi folosită pentru a rezolva probleme matematice mai complexe.